Аппроксимирующая билинейная форма

Для удобства через а, -, ) будем обозначать аппроксимирующую билинейную форму, а через ,, ) —аппроксимирующую линейную форму. Обозначая через - норму пространства V, будем говорить, что аппроксимирующая билинейная форма [c.185]

Теорема 4.1.1 (первая лемма Стренга). Рассмотрим семейство дискретных задач, для которого соответствующие аппроксимирующие билинейные формы равномерно V -эллиптичны. [c.185]

Тогда существует такая не зависящая от Н постоянная а > О, что для всех аппроксимирующих билинейных форм вида (4.1.24) и всех пространств V [c.187]

Таким образом, дискретная задача соответствует аппроксимирующей билинейной форме [c.203]

Показать, что ассоциируемые аппроксимирующие билинейные формы не будут, однако, равномерно 1/д-эллиптичны. [c.206]

Для того чтобы определить дискретную задачу иа пространстве Уд"=Х ,д, заметим, что если линейная форма / еще определена на пространстве Vf в силу включения (4.2.5), то это не так для билинейной формы а -, ). Для преодоления этой трудности определим, принимая во внимание (4.2.1) и (4.2.4), аппроксимирующую билинейную форму [c.207]

В дальнейшем будем считать, что область определения как аппроксимирующей билинейной формы из (4.2.7), так и полунормы из (4.2.8) совпадает с пространством Уд+У. Заметим, что в этом случае [c.208]

Для заданного семейства дискретных задач вида (4.4.16) будем говорить, что аппроксимирующие билинейные формы Яй(-, ) из (4.4.17) равномерно V -эллиптичны, если [c.252]

Тогда, если предположение (Н 1) выполняется, то ассоциируемые аппроксимирующие билинейные формы равномерно V,,-эллиптичны, т. е [c.254]

Введя соответствующее подпространство Х од из с тем, чтобы по возможности лучше учесть краевые условия и = вдоль Г (эта процедура будет проиллюстрирована на примере), мы определяем аппроксимирующую билинейную форму [c.353]

Тогда при достаточно малом h аппроксимирующая билинейная форма ад(-, ) -эллиптична, и, следовательно, дискретная задача имеет единственное решение. [c.432]

В дальнейшем мы не будем принимать во внимание тот факт, что нам не нужно аппроксимировать билинейную форму из (8.3.1) Если мы следуем анализу, проведенному в разд. 8.2, го при ходим к аппроксимации отображения ф отображением ф, ком поненты которого принадлежат пространству конечных элемен тов Фд, отвечающему разбиению (8.3.2) отрезка [О, Ц. Через Р/. мы будем обозначать пространства, образованные сужениями па множества , l[c.438]

Так как вторая производная аппроксимирующего отображения обращается в пуль на каждом интервале I , то соответствующий аппроксимирующий радиус кривизны бесконечен. Следовательно, используя подход разд. 8.2 (см. уравнения (8.2.4) и (8.2.5)) и выражение для билинейной формы, данное в (8.3.1), приходим к следующей аппроксимирующей билинейной форме [c.439]

Следовательно, для достаточно малого h аппроксимирующие билинейные формы o (-, ) равномерно — эллиптичны. [c.446]

Доказательство. Так как для достаточно малого h аппроксимирующие билинейные формы равномерно V -эллиптичны (теорема 8.3,2), то мы можем применить теорему 4,1.1- Если мы обозначим через ll u (II j, ЛдИ ) У -интерполянт решения и, то [c.449]

Абстрактная оценка ошибки 108—109, 185 Аппроксимирующая билинейная форма 185 [c.504]

Этот процесс дает аппроксимирующую билинейную форму н(-, ) и аппроксимирующий функционал / ( ). В итоге приходим к задаче определения решения м еЯ, удовлетворяющего тождеству [c.104]

Рассмотрим вначале, каков же наиболее простой метод конечных элементов решения этой задачи. Так как все коэффициенты, появляющиеся в билинейной форме, постоянны, то, как указывалось в разд. 8.2, нет необходимости аппроксимировать геометрию. Другими словами, дискретная задача состоит в том, что мы полагаем ад(-, ) = ( , ) и / ( ) = /( ) и ищем затем дискретное решение и = ( ,, й д)Ё = где и — [c.437]

Дадим теперь достаточные условия иа квадратурную схему, обеспечивающие равномерную У д-эллннтичиость аппроксимирующих билинейных форм. Заметим, в частности, что в следующей теореме предположения (i) и (ii) укамвают на связь, которая должна существовать между исходным конечным элементом К, Р, I) и определенной на К квадратурной схемой (случай отрицательных весов см. в упр. 4.1.2). [c.186]

Предположим, что аппроксимирующие билинейные формы равпо.мерно К -эллиптичны, и, следовательно, можно применить абстрактную оценку ошпбки (4.1.27) из теоремы 4.1.1. Тогда наша цель—получить оценки ошибки согласования вида [c.190]

U) Исходя из ( ), показать, что аппроксимирующие билинейные формы вида (4.1.21) равномерно У -эллиптичны для доста- [c.201]

Показать, что эта квадратурная схема точна для пространства Q, (/ ), Так как множество узлов Q, (/С)-унисольвентно, то ассоциируемые аппроксимирующие билинейные формы равномерно I/,,-эллиптичны, и, следовательно, эта схема сохраняет сходимость в норме 11 1) (см. упр. 4.1.7). Показать, что соответ- [c.205]

Теорема 4.2.2 (вторяя лемма Стренга), Рассмотрим семейство дискретных задач, олч которого ассоциируемые аппроксимирующие билинейные формы равномерно У,,-эллипп1инны. [c.209]

Тогда, если рассмотреть семейство дискретных задач вида (4.4.16), для которого ассоциируемые аппроксимирующие билинейные формы равномерно V -эллиптичны, то существует такая не зависящая от пространства Vпостоянная С, что [c.253]

Доказательство. По теореме 4.4.2 аппроксимирующие билинейные формы равномерно 1/д-эллиптичиы, и, следовательно, мы можем использовать абстрактную оценку ошибки (4.4.21) из теоремы 4.4.1. [c.263]

Используя этот факт, дать другое доказательство равномерной 1/д-эллиптичностн аппроксимирующих билинейных форм (этот тип доказательС1ва был использован Зламалом [7]). [c.267]

Заметим, что аппроксимирующие билинейные формы ад(-. ) равномерно Vэллиптичны, так как (см. (6.2.3)) [c.356]

Замечание 6.2.1. Если бы мы попытались использовать неконформные методы конечных элементов для бигармонической задачи этом случае аппроксимирующая билинейная форма [c.357]

Поскольку, как было установлено в теореме 8.1.1, только знаменатели, которые могут встретиться в функциях Л, (соответственно функциях Ajjf,), являются целыми степенями функции )/ а (соответственно функции Ка ) и так как сами эти функции при указанных выше условиях регулярны, то мы получаем, что аппроксимирующая билинейная форма й (-, ) определена корректно на пространстве V для всех h h . Чтобы сравнить ее с би-литтейной формой а(-, )> заметим, что [c.431]

Равномерная Ул-эллиптичпость аппроксимирующих билинейных форм доказывается так же, как в теореме 8.2.2. [c.449]

Учет краевого условия второго и третьего рода осуществляется дополнительными слагаемыми непосредственно в билинейной форме и функционале (см. п. 1.1.4) и здесь не возникает вопроса о наложении дополнительных условий на базисные функции. Поэтому при использовании изопара-метрической аппроксимации области алгоритмическое отличие от главного краевого условия состоит в применении квадратурных или кубатурных формул для вычисления граничных интегралов. Участки границы Г заменяются на аппроксимирующие их многообразия из Г ,. Теоретическое обоснование точности снова з тывает изменение области, погрешность численного интегрирования и опирается на теорему 3.9. В итоге оно, в принципе, мало отличается от приводимого для первой краевой задачи и дает аналогичный результат, описывающий точность получаемого приближенного решения А именно, при изопараметрической аппроксимации области выбор на Гй квадратурных формул подходящей степени приводит к такому же порядку точности приближенного решения м , как и при точном интегрировании по Г. [c.115]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...