Разложение сепарабельного состояния

Теорема 15 устанавливает существование и единственность разложения сепарабельного состояния КМШ ф по одним лишь максимальным мерам. Правда, утверждение о существовании [c.284]

Разложение сепарабельного состояния КМШ по максимальным мерам 282 [c.419]

Разумеется, данный частный результат еще не устанавливает единственности разложения произвольного состояния ф из множества р на экстремальные компоненты. Все же отметим, что он был получен при весьма слабых ограничениях, а именно в предположении о том, что пространство сепарабельно и спектр оператора 2 дискретен. Этот наш простой пример ценен тем, что указывает направление, в котором мы должны ослабить технические ограничения и пытаться найти решение для общего случая. В самом деле, представим полученный выше результат в другом виде. Пусть ц.,, — мера, определенная на соотношением Цф = 2 Очевидно, что [c.278]

Центральная мера служит тем средством, которое позволяет обобщить на произвольные сепарабельные состояния КМШ полученный нами ранее частный результат о единственности разложения состояния ф на экстремальные состояния КМШ. [c.280]

Сделаем еще один щаг в обобщении требования, чтобы состояние равновесия при естественной температуре р принадлежало множеству р. Будем утверждать, что чистая термодинамическая фаза при естественной температуре р является состоянием равновесия при температуре р, которое не допускает разложения по другим состояниям равновесия (при той же естественной температуре). Предположим, что ф — сепарабельное состояние КМШ, интерпретируемое как чистая термодинамическая фаза. Если бы ф не было экстремальным состоянием КМШ, то нащлось бы состояние КМШ 1 з А.ф (соответствующее по теореме 11 той же естественной температуре). Следовательно, состояние ф можно было бы разложить на другие состояния равновесия при той же температуре р вопреки утверждению о том, что ф —чистая термодинамическая фаза. Тогда остается предположить, что чистая термодинамическая фаза должна быть экстремальным состоянием КМШ. Такое предположение подкрепляется некоторыми частными результатами ). Прежде всего напомним сделанное нами ранее замечание ) о том, что для конечной системы Рр = ехр (—ря)/5р ехрХ [c.266]

Подставив ЗЗф вместо в разложение инвариантного состояния на его экстремальные инвариантные компоненты (гл. 2, 2, п. 6), мы расширим состояние ф на Зф и произведем его центральное разложение относительно этой алгебры. При этом мы получим не только разложение алгебры ЗЗф, но и разложение бикоммутанта Лф (Я)" и коммутанта Лф (Э ), которые, как мы уже видели, содержатся в 2%. Нетрудно убедиться, что мера, соответствующая этому разложению, сосредоточена (сначала в смысле Бэра, а затем, после принятия соответствующих допущений о сепарабельности, в смысле Бореля) на множестве состояний т] , таких, что 58ф = Я/). Таким образом, это разложение представляет Собой не что иное, как разложение состояния ф на его равномернокластерные компоненты. Такое разложение называется разложением состояния ф на бесконечности. Если ф — состояние равно- [c.377]

Доказательство. Поскольку пространство сепарабельно, бикоммутант Я(p(8i)" допускает счетное разложение ), и поэтому [77, гл. 1, 3, п. I, предложение 1] единичный шар в Лф(0 )" метризуем в сильной операторной топологии. Таким образом, следствие 1 сразу же вытекает из теоремы 10, если вспомнить, что Яф(91), /ф (К) — ковариантное представление, канонически ассоциированное с состоянием ф, Ф — циклический вектор, соответствующий состоянию ф в этом представлении, (ф X) = (Ф, ХФ) для всех X е (Я)" и щ [X] С/ф (1) Хи [—1). [c.260]

Как мы уже отмечали, любая положительная линейная форма ф на 58(ф) допускает однозначное разложение в сумму Ф = Ф1 + Ф2. где ф1 — нормальная форма, а (фа К) = 0 для всех А е й (ф), где й (ф) — замкнутый двусторонний идеал в алгебре S ( >), образованный всеми компактными операторами на ф. Если ф сепарабельно, то идеал й( >) также сепарабелен, поскольку он является замыканием по норме алгебры всех операторов конечного ранга на ф. Абстрагируясь, мы можем поменять местами эти свойства и сказать, что состояние ф на С -алгебре Ш локально нормально, если существует счетное семейство Ш С -подалгебр алгебры Ш, такое, что а) объединение плотно в Я, б) каждая алгебра обладает сепарабельным замкнутым двусторонним идеалом и в) сужение ф состояния ф на также обладает нормой, равной 1. Рюэль [337] и Ланфорд и Рюэль [250], которые впервые ввели понятие локально нормальных состояний, доказали, что для последних справедливы следующие утверждения [c.362]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...