Каноническая замкнутая кривая континуума

Доказательство. Пусть в случае а) существуют две входящие в состав континуума К - простые замкнутые кривые и 8 , из которых одна—5 , — лежит внутри другой — 8- . Так как по условию континуум лежит внутри канонической кривой С, то кривая 8 лежит внутри кривой С, а точки всякой канонической окрестности континуума К - очевидно, лежат вне кривой х- Но точки кривой 5 , лежащей внутри 5 ., не могут быть ни ю (ни соответственно а)-предельными для траекторий, лежащих вне кривой ни граничными для ячейки, заполненной замкнутыми траекториями, точки которой лежат вне кривой 8 . [c.439]

Лемма 9. Пусть предельный континуум Ю состоит более чем из одной простой замкнутой кривой 5 . Тогда а) если все простые замкнутые кривые г лежат одна вне другой, то каноническая кривая С содержит континуум АГ внутри себя б) если среди простых замкнутых кривых одна, например 8 , содержит внутри себя остальные, то каноническая кривая С лежит внутри кривой 8 и вне всех остальных кривых 81 г ф 1). [c.440]

Замечание. Пусть 5 — простая замкнутая кривая, состоящая из витка траектории, отличной от траекторий ЬР (т. е. не особой) и дуги без контакта, целиком лежащая в какой-нибудь канонической окрестности континуума К - . Очевидно, все полутраектории Lt пересекают дугу без контакта, входящую в состав этой кривой. При этом циклический порядок этих точек пересечения на кривой 5 тот же, что II циклический порядок этих точек на любом цикле без контакта континуума [c.442]

Рассмотрим канонические кривые С и С континуумов и K , т. е. либо циклы без контакта, либо замкнутые траектории в зависимости от того, являются ли Ю и К О)-, а- или О-предельными. Пусть у и у — канонические окрестности этих континуумов, ограниченные соответственно кривыми С и С. [c.446]

В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать замкнутую каноническую окрестность уг,- Будем в дальнейшем называть канонической кривой со-, а- или 0-предельного континуума Ю простую замкнутую кривую С, входящую в грашщу канонической окрестностп этого континуума и являющуюся циклом без контакта — в случае, когда [c.426]

Пусть С — какой-нибудь цикл без контакта континуу.ма А т п у — ограниченная им каноническая окрестность. Пусть 1— одиа пз входящих в континуум АГи траекторий и 1 — та из простых замкнутых кривых, составляющих континуум АГ , в которую входит траектория Ь . Возьмем на траектории четыре точки А, Ах, А и Аз, соответствующие ири [c.440]

Пусть, далее, К . . ., АУ (К) — все (односторонние) предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний равновесия, расположенные в G, Yj, Ysi > (y) — их канонические окрестности, i, С2, - - -, jf (С) — соответствующие канонические кривые континуумов (К) каждая кривая Сг является либо циклом без контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-мом Ki составляет границу канонической окрестности уг- [c.454]

Рассмотрим теперь предельный континуум К , не являющийся состоянием равновесия. Ни одна точка границы области пли угловой дуги не может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного случая, когда граничная замкнутая кривая является орбитно-устойчивой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой ячейки т, заполненной замкнутыми траекториями (см. 24, п. 1). Но в зтом случае канонической кривой континуума К является любая замкнутая траектория ячейки т, а такая траектория, а также соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки ш, очевидно, не имеет общпх точек с множеством Е. Во всех же других случаях предельный континуум К состоит из орбитно-неустойчивых траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда, очевидно, всякая каноническая окрестность этого континуума К 1, лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в 11 при достаточно малом е > О не имеет общих точек с множеством Е. [c.455]

Принимая во внимание, что каноническая кривая состояния равновесия может быть циклом без контакта лишь в случае, когда состояние равновесия есть узел, а также в силу леммы 1 25 нетрудно видеть, что 1) внутренний континуум Кы является либо узлом, либо простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо составлен из нескольких простых замкнутых кривых легкащих одна вне другой (если не считать их общих точек) 2) внешний континуум К К а) либо является простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо состоит из нескольких простых замкнутых кривых и тогда одна из этих замкнутых кривых, о, содержит внутри нее остальные, лежащие одна вне другой. Если К - и К - — два сопряженных предельных континуума, то, очевидно, внутренний континуум К лежит внутри кривой о внешнего континуума К - [c.465]

Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри "о и содержащая внутри себя, то точки области С существуют как внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая входящая в состав какого-нибудь предельного континуума лежащая внутри кривой "ц и содержащая внутри себя. Предположим для определенности, что есть со- или а-предельный континуум, состоящий из кривой 8 и расположенных внутри нее и вне друг друга простых замкнутых кривых "а,. . . , 8р, а соответственно а- или со-предельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга простых замкнутых кривых "1, 5 2, -, "д. Пусть С и у и соответственно С ш у — каноническая кривая и окрестность континуума К - и Кривая 5 не может лежать внутри какой-нибудь из кривых 8, . . ., 8 р или 8г,. . . , 8д, так как тогда и континуум лежал бы внутри тако11 кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая не может также иметь общих точек с окрестностями у и у, так как внутри этих окрестностей нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая 5 должна быть целиком расположена в области i , ограниченной кривыми С и С. Но это невозможно (см. лемму 16 3). Аналогично доказывается утверждение леммы в случае, когда и являются соиряженными 0-нредель-ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными циклами без контакта. Лемма доказана. [c.467]

Теорема 74. Пусть Ю и К — два предельных континуума, С и С — их канонические кривые и у и у — канонические окрестности, ограниченные каноническими кривыми С и С. Если полные схемы континуумов Ю и тождественны, то 1) континуумы К и К одинаково расположены относительно своих канонических кривых С и С 2) существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг в друга, переводящее траектории в траектории, при котором особые траектории и особые полут,раектории в случае несвободных континуумов), соответствующие друг другу по схеме, отображаются друг в друга. [c.446]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...