Фрактали

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим не- [c.78]

С учетом зависимости плотности фрактала от его линейного размера для [c.102]

Понятие фрактала было введено первоначально как геометрический образ, однако естественные фракталы, самоорганизующиеся в физических системах, далеких от равновесия, являются более сложными структурами и характеризуются иерархией соподчинения статических фрактальных ансамблей, соответствующих разным структурным уровням [6, 7]. [c.232]

Фрактал, полученный при помощи компьютерного моделирования [c.14]

Количественной характеристикой фрактала является фрактальная размерность. Для выяснения смысла этого фрактального показателя решим несложную задачу. Требуется подсчитать длину ломаной линии, полученной преобразованием отрезка единичной длины (рис. 11). Алгоритм преобразования следующий [c.25]

Связь между размером кластера и числом частиц N (или массой фрактала) можно представить в виде [c.28]

Рис. 14. Этапы процесса компьютерного моделирования фрактала при помощи ССА-процесса

Следует отметить, что для произвольного объемного фрактала такой простой связи между 8,, и Р, не существует. Здесь для каждого фрактала гге-обходим свой предварительный анализ, определяемый геометрической формой фрактала. [c.36]

Рис-60. Виды различных фрактальных поверхностей, возникающих при описании перколяционных кластеров 1 - внешний периметр, или кожура (размерность Ой) 2 - неэкранированный пери.метр (показан штриховой линией) с размерностью Ои - области, где велика вероятность столкновения блуждающей частицы с границей кластера 3 - внутренний периметр. Поскольку размерность полного периметра кластера А> Дь, внутренний периметр имеет ту же размерность, что и полный периметр, 4 - узлы роста, они образуют "живую" границу кластера, фрактальная размерность их множества Конкретный вид фрактала, образованного этими узлами, зависит от механизма роста [c.85]

Понятие фрактала и его основные свойства. Можно ли считать объект фрактальным, если он не самоподобен Не обладает иерархичностью [c.158]

В настоящей главе рассмотрены различные фрактальные (мультифрактальные) структуры, их свойства и применение концепции фракталов в материаловедении и технологических процессах. Концепция фpaктaJюв используется исследователями еще недостаточно, что обусловлено трудностью восприятия образа фрактала, требзтощего для его представления ряда абстрактных понятий. Вместе с тем, материаловеды и технологи уже давно опери- [c.77]

Слово "фрактал", введенное Б.Б. Мандельбротом [3] для описания самоподобных структур с дробной размерностью, происходит от английского слова fra tional - дробный. Однако, строгое определение фрактала отсутствует наиболее часто фрактал связывают со структурой, состоящей из частей, которые в какой-то смысле подобны целому [4]. Природные структуры, как правило, фрактальны деревья, облака, берега рек, разветвленность ее притоков, система кровообращения, "морозные" узоры на стекле и т.п. В силу разнообразия и сложности естественных природных фрактальных объектов, для их исследования часто используются геометрические фракталы. Они были введены математиками еще в прошлом веке, но представления, выходившие за рамки традиционной геометрии, не привлекли к себе в то время со стороны представителей естественных наук должного внимания. [c.78]

Б.Б. Мандельброт [3] ввел понятие не только фрактала, но и фрактальной геометрии, что привело к интенсивным исследованиям объектов, отличающихся от евклидовых структур, а также породило развитие компьютерной фрактальной фафики. В [5] написано следующее "Наше ощущение прекрасного возникает под влиянием гармонии порядка и беспорядка в природных объектах [c.78]

Его фрактальная размерность равна 1,66 0,03. Фрактальную размерность таких структур, как правило, определяют путем получения фотофафий, выполненных с различным увеличением, с последующим нанесением на фотографии квадратной сетки. Далее подсчитывается число квадратов, в которое попали точки объекта. Фрактальная размерность определяется по величине тангенса угла накгюна прямой, построенной в двойных логарифмических координатах число отмеченных квадратов - коэффициент увеличения. Этот метод применим к квазиодномерным объектам. Дчя квазидвумерных струюур используют связь между массой М фрактала и радиусом R окружности, опоясывающей фрактал [c.87]

Р.И. Минц и др. [10J использовали этот метод для анализа фрактальных структур при кристаллизации жидкости на подложке. Определенная указанным методом фрактальная размерность для различных систем укладывалась в интервале 1 < D i 2. Обнаружен скачок D при К=Ккр, причем он был тем резче, чем больше R p. Отмечено, что критический размер фрактала отвечает про- [c.87]

Функция 1(К) имеет вид где х - показатель, в пределах которого BbinojnmeT H степенная связь I = Г(К). В этом случае х играет роль ( )рактапь-ной размерности, связывающей размер объекга R с его массой М. ля листоподобного фрактала 2 < D < 3. Для рассеяния от трехмерных объектов с фрактальными поверхностями х = 6 -, где - фрактальная размерность гладкой поверхности. Для пористых материалов х = 7 - у, где у - показатель, характеризующий распределение р(г) пор по их размерам [c.89]

Рассмотрим, как обеспечивается самоподобие фракталов прежде всего в обласги упругой деформации, когда устойчивость фрактала к деформации обеспечивается поперечной деформацией ц/, связанной с продольной деформацией коэффициентом Пуассона v. [c.102]

Образование фрактальных структур в упругодеформированной среде связанно с возникновением в ней неоднородных флуктуаций плотности и сдвига 2Г . Самоподобие упругоизотропного фрактала при росте деформации сохраняется (причем фрактальная размерность самоподобной с фуктуры не изменяется, df onsi), если изменение его шютности при упругой деформации подчиняется закону, совпадающему с законом изменения плотности фрактала при изменении его геометрических размеров 113], т.е. если [c.102]

Подтверждением правомерности единого методологического (фрактального) подхода в подобных случаях может служить качественный "прорыв" во многих научных областях, в результате чего стало возможным проводить изучение и анализ объектов произвольного уровня сложности в любом масштабе (от межмолекулярного до уровня организации промышленных предприятий и отраслей). Комплексный анализ технологических процессов, имеющих место на нефтеперерабатывающих предприятиях показал, что большинство фазовых переходов в нефтяных дисперсных системах имеет фрактальный характер. Например при моделировании процесса замедленного коксования нефтяных ПСКОВ (рисунок 2.21) [2] образование каналов протекания газа в массе коксующегося пека осуществляется аналогично формированию пер-коляционного фрактала. [c.132]

Трудности в установлении однозначной связи между шероховатостью поверхности и фрактальной размерностью структуры излома вполне очевидны. Уже отмечалось, что в реальных физических процессах самоподобие фракталов обеспечивается на ограниченных масштабах. Причиной этому является зависимость рельефа поверхности от локальных процессов разрушения, формирующих излом. Здесь мы опять приходим к проблеме о связи процессов на различных масштабных уровнях. Накопленный массив экспериментальных данных, полученных при электронномикроскопических исследованиях хюверхно-сти изломов показывают, что установление этой связи требует учета многих внешних факторов, влияющих на механизм локального разрушения. Фракто-графические исследования позволяют заключить, что на микроуровне и мезо-уровне сохраняются те же характерные признаки вязкого и хрупкого разрушения, как и на макроуровне. В этой связи следует отметить, что большую информацию несут фрактографические исследования усга юстных разрушений при низких скоростях роста трещины. В этом случае легко выявляется кооперативное взаимодействие хрупких и вязких механизмов разрушения. На рисунке 4.43 показаны фрактограммы, полученные при большом увеличении с локальных зон усталостных изломов. [c.330]

Фракталы - понятие, которое возникло в конце 80-х годов благодаря работам Б. Мандельброта [5]. Согласно его собственному пробному определению, фрактал - это стр) ктура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому [6]. Иными словами, вырезав небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, мы можем рассмотреть ее в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом. Вырезав еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив ее, мы обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Если рассматривать идеальную фракгальную структуру, такую операцию мы можем проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Реальные же объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою [c.24]

Рис. 11 Этапы построения линейного регулярного фрактала - триадной кривой Кох

Рис 12, Этапы построения плоского регулярного фрактала - салфетки Серпинского [c.27]

Еще более реалистичные модели пористых систем можно образовать из модели фрактала под названием обобщенной губки Менгера (рис. 19, б). Этот фрактал получается следующим образом. Сторона ребра исходного куба размера Л делится на К частей. Затем из центра ку ба изымается р кубиков со стороной ребра К]К. Подсчитывается доля оставшихся. Затем та же процедура изъятия р кубиков осуществляется уже для каждого оставшегося кубика размером Л//6. Эта процедура продолжается п раз. На первом этапе доля оставшихся кубиков определяется следующим выражением [c.35]

О определяется формулой, описанной выше для фракт альной размерности обобщенной губки Менгера. Значит, между фрактальными размерностями В и существует корреляция [c.36]

Рнс 74. а - увеличение энергетической составляющей структур в поверхностном переходном 3-э2 слое по мере уменьшения их фрактальной размерности oтiг i до й= 2 б -аналогия с генератором фрактала триадной кривой Кох [c.116]

При этом можно увидеть интересную аналогию формы линии получившейся фигуры - "звезды Давида" (рис. 74, а) и формы генератора классического фрактала - триадной кривой Кох (рис. 74, б) Методами фрактальной геометрии создано несколько способов формирования неоднородности поверхности [71]. Среди них есть и способы построения неоднородных поверхностей, основанные на моделях регулярных фракталов. Например, поверхность обобщенной триады Кох. Вначале строится фрактальная кривая в масштабе р, а затем вся фрактальная кривая переносится параллельно самой себе на длину порядка Л. В результате получается гофрированная поверхность, которая служит моделью неоднородной поверхности (см. рис. 17), полученной при направленном шлифовании сколов поликристаллических сплавов. [c.116]

Фракталы - понятие, которое возникло в конце 80-х годов благодаря работам Б.Мандельброта [34J. Согласно его собственному пробному определению фрактал - это структура, состоящая из частей, которые в каком-то [c.87]

Т1шьную размерность других регулярных фракталов, например, плоского регулярного фрактала - салфетки Сершш-ского (рис. 2.6). [c.91]

Следует отмет1ггь, что для произвольного объемного фрактшга такой простой связи между S,, и F, не с тцествует. Здесь для каждого фрактала необходим свой предварительный анализ, определяемый геометрической формой фрактала. [c.107]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...