Аналитическое доказательство закона площадей

Аналитическое доказательство закона площадей. Хотя доказательство 46 было проведено геометрически, однако там мы основывались по существу на эл ментах методов диференциального и интегрального исчислений. Мы увидим в дальнейшем, что методы исследования всех проблем небесной I механики по существу суть методы анализа, / даже если мы пользуемся языком геометрии. Начинающему обычно легче понять и проследить доказательство, если оно дано в геометриче-Ч ской форме, но геометрические рассуждения не I имеют общности и содержат многие, часто неприятные трудности. С другой стороны, развитие анализа в точности соответствует его применению к решению этих проблем, и после того, как его основы усвэены, это применение характеризуется сравнительной простотой и большой общностью. Некоторые задачи будут решены обоими методами, чтобы показать их тождество и иллюстрировать преимущества аналитического метода. [c.74]

Еще в 1878 г. Ф. А. Слудский высказал без доказательства теорему о том, что необходимым условием общего соударения свободных материальных точек, взаимно притягивающихся по закону Ньютона, является аннулирование всех постоянных интегралов площадей в движении системы относительно ее центра инерции. Подобную мысль высказал и К. Вейерштрасс Он показал, что при отличной от нуля нижней границе минимума взаимных расстояний точек системы координаты этих точек являются голоморфными функциями времени в полосе комплексной i-плоскости, ограниченной двумя симметричными относительно действительной оси прямыми. Исследуя вопрос о существовании соответствующих начальных условий движения, он пришел к заключению, что по крайней мере для задачи трех тел такие начальные условия не только существуют, но и представляют собой общий случай, в то время как парное и, тем более, общее соударение точек в конечный момент может произойти только при особых условиях. Вейерштрасс без доказательства также заметил, что координаты точек системы разлагаются в окрестности момента парного соударения t = в ряды по целым положи-J тельным степеням (fj — i) и зависят от бге — 2 произвольных постоянных. Эту теорему доказал П. Пенлеве . Он показал также, что если движение в классической задаче п тел, регулярное до момента ti, в этот момент нарушает регулярность, то минимум взаимных расстояний точек при t-у ti стремится к нулю. Если п = 3, то единственной особенностью движения может быть только парное или общее соударение тел в момент Если и 3, могут быть и такие особенности, когда некоторые из взаимных расстояний, не стремясь ни к каким определенным пределам при t ti, осциллируют в каких угодно границах. П. Пенлеве установил, что начальные условия движения, соответствующие парному соударению, должны удовлетворять определенным аналитическим соотношениям, однозначным относительно координат и алгебраическим относительно скоростей, если по крайней мере массы трех точек отличны от нуля. Найти эти условия удалось Т. Леви-Чивита и Г. Бискончини . Однако эти условия выражаются очень сложными рядами и могут быть использованы непосредственно только в случае, когда соударение происходит через весьма малый промежуток времени после начального момента. [c.112]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...