Уравнения малых колебаний относительно естественного состояния

Уравнения малых колебаний относительно естественного состояния [c.61]

Так как рассматриваются колебания относительно естественного ненагруженного состояния, когда Оо = Мо = 0, то 0=А0, М = АМ и уравнения малых колебаний (7.39), (7.40) принимают вид [c.173]

Рассматриваются колебания стержня относительно естественного состояния В плоскости чертежа (см. рис. 5.14). Поэтому в уравнениях малых колебаний, например в уравнениях (5.57), следует положить Ql = Q2o = 0 Я]=1, Лзз=1. [c.286]

Приведем уравнения малых колебаний стержней относительно естественного состояния (ненагруженного). В этом частном случае в (8.55) следует положить В результате получаем векторные уравнения [c.347]

Получим уравнения малых случайных колебаний стержней, осевая линия которых есть плоская кривая. На рис. 8.1, б ъ качестве примера показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном состоянии (q = 0), так и в нагруженном (q Ф 0) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа если пружину отклонить относительно плоскости - возникнут малые пространственные колебания. Соответствующие уравнения можно получить из системы (8.58)—(8.62), положив [c.347]

Уравнения малых колебаний стержней, осевая линия которых есть плоская кривая. На рис. 3.7 показана спиральная пружина, осевая линия которой как в естественном (Т = 0), так и в нагруженном состоянии (Т=5 0) есть плоская кривая. Если пружину отклонить от состояния равновесия, она начнет совершать колебания. Если ее отклонить в плоскости чертежа, то малые колебания будут происходить в плоскости чертежа, если отклонить относительно плоскости, то возникнут малые пространственные колебания. Если пружина (упругий элемент прибора времени) находится на ускоренно движущемся объекте, ускорение которого имеет случайную составляющую Аа( ), то это приведет к появлению вынужденных случайных колебаний, в общем случае пространственных, Постоянная составляющая ускорения ао нагружает стержень, т. е. в этом случае <310=7 =0, <Э2о 0 и уИзо 0. [c.62]

Из системы (4.1)— (4.4) как частный случай получается система уравнений, описывающая малые колебания пространственнокриволинейных стержней относительно естественного состояния. В этом случае элементы матриц и Ам равны нулю и в результате получаем систему уравнений [c.75]

Примеры. Пример 1. Естественной формой тонкого нерастяжнмого стержня в состоянии покоя служит дуга окружности, н он совершает малые колебания около нее. Пусть дуга совпадает с полной окружностью. Докажите, что в этом случае периоды 2я/р даются уравнением (р + 1) = ар (Р — 1) . где I — любое целое число, а а — постоянная, зависящая от гибкости стержня. В предположении, что дуга не совпадает с полной окружностью и оба ее конца свободны, показать, что прн подходящих начальных условиях стержень может совершать колебания, симметричные относительно своей середины, с периодом 2л/р прн условии, что центральный угол 20. стягиваемый дугой, удовлетворяет уравнению [c.511]

Уравнение, эквивалентное (3.33), (3.38), было предложено в работах [38, 39]. Оно отличается от уравнений, обычно использовавшихся в задачах наследственной упругости, тем, что соответствующий ему линейный оператор, содержащий старшие производные второго порядка, явно факторизуется, то есть может быть представлен в виде суперпозиции линейных операторов с производными не выше первого порядка. Это значительно облегчает построение и анализ его решений. Здесь мы пришли к данному виду уравнения, отталкиваясь от одноволнового уравнения для линейной волны, бегущей в одном направлении в среде, свойства которой формируют определенный закон дисперсии для этой волны. Этот путь естественным образом приводит к такой факторизуемой форме. Обратим внимание на то, что отношение члена второго порядка по Я к члену первого порядка в частотной области для уравнения (3.33) равно Я . Ясно, что в границах применимости модели распространения линейных волн, удовлетворяющих уравнению (3.33) или его многомерным (по пространственным переменным) аналогам, каким бы малым (в любом разумном смысле) не было значение Я, при достаточно малых со величина этого отношения может стать при а -1 < О сколь угодно большой, и пренебречь в (3.33) членами квадратичными по Я будет нельзя. Это может оказаться существенным для реальной физической системы тогда, когда соответствующие этим частотам длины волн попадают в диапазон масштабов фрактальности. Если в области низких частот эта модель утрачивает свою физическую адекватность, то это, прежде всего, означает, что решения уравнения (3.33) на достаточно больших временах теряют смысл для описания происходящих в ней процессов распространения возбуждений. Тем не менее, эти решения могут быть вполне адекватными для относительно малых времен, прошедших от момента начала возбуждения колебаний в некоторой точке среды, которой достигло возбуждение. Таким образом, при рассмотрении распространения переходных волн в первоначально невозмущенной среде, эта модель может описывать изменения её состояния в зоне конечной ширины позади переднего фронта возмущения, который перемещается со скоростью, обозначенной в (3.27), а в (3.33) и далее, для упрощения выкладок, принятой нами за единицу. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...