Инвариантное гомотопический

Из гомотопической инвариантности степени (следствие 8.2.15) немедленно вытекает соответствующее предложение. [c.326]

В противном случае кривые 7 о с" и с" различны. По теореме Жордана об односвязной кривой с разбивает пространство на две открытых компоненты (7 и С . Поэтому образ -у ос либо пересекает с, либо содержится в одной из компонент, скажем, в (7 . Поскольку М — ориентируемая поверхность, второй случай означает, что и потому 7" (с) с Получаем противоречие. Поэтому кривая 70с пересекает с. Рассмотрим точку х из этого пересечения. Пересечение трансверсально, поскольку кривые 7 о с" и с" являются геодезическими. Точка х = 7 х также является точкой трансверсального пересечения. Проведем две новые кривые, соединяющие X и х, следующим образом. Пусть — кривая, полученная из кривой с заменой каждого отрезка с между двумя точками пересечения соответствующим отрезком 7 "с, если последний содержится в С , а с — кривая, состоящая из оставшихся отрезков объединения с и 7 "с. Кривые и с являются 7""-инвариантными и потому представляют собой поднятия замкнутых кривых из того же гомотопического класса (относительно свободных гомотопий), к которому принадлежит с, и сумма длин их проекций равна удвоенной длине с. Но обе проекции — геодезические ломаные, не являющиеся геодезическими, и, значит, ни одна из них не минимальна среди кривых из этого гомотопического класса. Поэтому кривая я не минимальна, что противоречит нашему предположению. [c.383]

Полезным следствием гомотопической инвариантности степени является тот факт, что степень отображения зависит только от его граничных значений . Точнее, пусть ф и if — отображения класса iR"), удовлетворяющие условию [c.250]

Поскольку отображение фо инъективно и ф(бй) = фо(бй), никакая точка Ь, принадлежащая множеству фо(й), не может принадлежать ф(бй). Следовательно, на основании свойства гомотопической инвариантности (теорема 5.4-2(d)) и условия [c.253]

В 3.1 было введено несколько инвариантов, описьшающих асимптотический рост сложности структуры орбит. Наиболее непосредственную информацию такого рода содержат такие инварианты, как рост числа периодических орбит (3.1.1) и топологическая энтропия (определение 3.1.3), отражающая скорость роста числа орбит, различимых с ограниченной точностью. С другой стороны, мы определили энтропию фундаментальной группы (3.1.23) и спектральные радиусы действия данного преобразования на группах гомологий (п. 3.1 д), которые не столь непосредственно отражают рост топологической сложности орбит с гомотопической и гомологической точек зрения. Очевидное преимущество последних инвариантов состоит в том, что их, вообще говоря, легче вычислять, так как они инвариантны относительно гомотопической эквивалентности. Например, поскольку каждое отображение тора гомотопически эквивалентно линейному отображению (подробнее см. в 2.6 и 8.7), для вычисления энтропии фундаментальной группы и спектральных радиусов действий на группах гомологий достаточно рассматривать лишь линейные отображения. В данной главе мы покажем, как с помощью этих гомотопических и гомологических инвариантов получить информацию относительно роста сложности орбит, т. е. установим количественную связь между ростом (и, в частности, существованием) периодических орбит и топологической энтропией с одной стороны и этими топологическими характеристиками с другой. [c.314]

Доказательство. Гомотопическая инвариантность следует из леммы 2.4.5. Таким образом, остается доказать, что если deg(/) = к, то отображение / гомотопно линейному отображению JE. Предположим, что aeg(f) = к, и пусть F — поднятие /. Тогда = (1 — t)F(x) + tkx — гомо-топия между F и f Id и [c.317]

Второе направление имеет дело с описанием (или вычислением) основных асимптотических инвариантов различных классов систем, а также систем из конкретных примеров. Среди этих инвариантов можно указать на скорость роста числа периодических орбит, топологическую энтропию, гомотопические и гомологические свойства, свойства возвращаемости и статистические свойства, выражающиеся через различные свойства инвариантных мер. [c.385]

Если изолированное инвариантное множество А является дизъюнктным объединением изолированных инвариантных множеств Ах и 2, то А(Л)== А(Л1)УЛ(Лг). Для гиперболической иезакрз) енной замкнутой траектории с индексом Морса а > 1 гомотопический индекс равен 2 /2 "Ч Когда же а Ц=1, то гюедставителем А ( ) может служить (5 и Хо), где лго 5 (Это отличается от частного случая предыдущей формулы при й= Ь 2 /2о меет представителя (5- илео, д 1)г где Х1б5Ч) Для гиперболической закрученной замкнутой траектории I с индексом Морса и (который неизбежно >2) [c.215]

А. III. 3.2. Замечание. В предложении А. III. 2.2 мы предполагали, что проекция я имеет ранг 1, и потому мы обязаны исключить из рассмотрения критические значения, которые может иметь сама проекция я. Эти критические значения обладают тем свойством, что вещественные слон Yt, определенные по разные стороны от них, имеют различные гомотопические типы (теория Морса [25]). Поэтому неудивительно, еслн эти критические значения окажутся непреодолимыми с точки зрения почти вещественных интегралов, т. е. если вещественные слон, определенные по разные стороны, не будут связаны никаким комплексным обходом (рнс. 46). Чтобы уточнить эту мысль, рассмотрим невырожденную квадратичную критическую точку индекса k. Забывая о наличии подмногообразий S., можно поставить задачу о том, чтобы связать классы гомологий ht Hn(Yt), определенные вещественными слоями по разные стороны критического значения, с помощью малого комплексного обхода. Эта задача, очевидно, инвариантна по отношению к комплексному сопряжению если такой обход существует, то комплексно сопряженный обход также приведет к целн. Следовательно, классы гомологий ht [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...