Дифференциальные уравнения нормализованная форма

Практическое применение изложенных в предыдущих главах результатов теории гамильтоновых систем требует эффективных способов получения нормальной формы функции Гамильтона. Линейную нормализацию можно осуществлять при помощи алгоритма, изложенного во второй главе. Задача нелинейной нормализации более сложна и весьма громоздка. Для автономных систем она сводится к проведению некоторых алгебраических операций над алгебраическими и тригонометрическими полиномами. Если в изучаемой задаче требуется получить нормальную форму гамильтониана с точностью до членов не выше четвертого поряд ка, то можно воспользоваться расчетными формулами, приведенными в предыдущих главах. Трудности нормализации неизмеримо возрастают при увеличении числа степеней свободы изучаемой динамической системы, а также когда функция Гамильтона явно содержит время. В последнем случае без расчетов на ЭВМ уже нельзя обойтись, так как при нахождении производящей функции нормализующего преобразования неизбежно приходится решать задачу нахождения периодического решения некоторой системы дифференциальных уравнений. [c.106]

Описанный в предыдущем параграфе комплекс программ является универсальным в том смысле, что с ого помощью можно нормализовать гамильтониан канонической системы с произвольным числом степеней свободы. Однако такой комплекс нуждается в больших ресурсах ЭВМ, поэтому для решения конкретных механических задач важное значение имеет создание быстродействующих вычислительных алгоритмов, нормализующих гамильтоновы системы с небольшим числом степеней свободы. Большое количество задач связано с нормализацией автономных гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы (порядок системы дифференциальных уравнений равен 4 или 6), для которых знание коэффициентов нормальной формы до члено четвертого порядка включительно позволяет часто рехпить задачу об устойчивости положения равновесия. При этом знапие самого нормализующего преобразования (производящей функции) но является необходимым, а коэффициенты нормальной формы вычисляются через коэффициенты исходного гамильтониана с помощью явных и относительно простых формул. Соответствующие алгоритмы и основанные па них вычислительные программы разработаны и описаны в работах [173, 174]. [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...