Одно уравнение н теоремы о вещественных корнях

Уравнение нечетной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один вещественный корень. Число вещественных корней, заключенных между любыми числами а и Ь, может быть точно определено при помощи теоремы Штурма (см. стр. 123). [c.119]

Теорема 1. Каждое из уравнений (8) имеет один вещественный корень принадлежащий интервалу (0,a J p), начиная с некоторого критического значения [c.323]

Совершенно очевидно, что если р22 р44> 22 или постоянное слагаемое более сложного уравнения /4/3 — й = О будут равны нулю, то соответствующие теоремы теряют силу, так как один корень уравнения непременно будет вещественным— равным нулю. Но тогда каждое из уравнений становится уравнением нечетной степени и, следовательно, имеет еще по крайней мере один вещественный корень, а всего не менее двух. [c.113]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Характеристическое уравнение + (А — 1) = О имеет один вещественный положительный корень, если А < 1, и по теореме Ляпунова о неустойчивости заключаем, что в этом случае положение х = О [c.171]

Теорема 4.1. [24-26]. Установившееся движение (53) консервативной неголономной системы Чаплыгина устойчиво (неустойчиво), если все корни уравнения (57) имеют отрицательные веш ественные части по крайней мере, один корень уравнения (57) имеет положительную вещественную часть), причем, в случае устойчивости, всякое возмуш енное движение, достаточно близкое к невозмущенному, асимптотически при I —> +оо стремится к одному из установившихся движений вида (48), отвечающих возмущенным значениям г° и 8°. [c.446]

Это уравнение имеет только одну перемену знаков, а поэтому, по теореме Декарта, имеет только один вещественный положительный корень, которому соответствует единственное положение точки Ма слева от Мо на прямой (МоЛ ). [c.749]

Таким образом, уравнение (3.6), рассматриваемое как квадратное относительно А. , имеет один положительный корень и один отрицательный. Следовательно, для каждой прямолинейной точки либрации (к = 1, 2, 3) характеристическое уравнение (3.6) имеет четыре корня вида а, ф, где аир— вещественные величины, отличные от нуля. Отсюда, согласно теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, следует неустойчивость прямолинейных точек либрации круговой ограниченной задачи трех тел. [c.26]

Согласно второй теореме Ляпунова, иевозмущепное движение, определяемое уравнениями (1 ), неустойчиво, если среди корней характеристического уравнения (13 ) имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью. И в этом случае отброшенные нелинейные слагаемые в правой части уравнений (1С ) не могут влиять на устойчивость движения. [c.652]

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения системы (5.9) первого приближения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью, то невозмущенное движение неустойчиво при любом выборе членов порядка выше первого в дифс ренциальных уравнениях возмущенного движения. [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...