Леммы об эллиптических областях

НИЯ равновесия О существует т различных эллиптических областей , мы будем подразумевать, что эти области различны в указанном выше-смысле. Пусть, как и в лемме 9, ga — эллиптическая область, образованная траекторией Ь. Имеет место следующая лемма [c.329]

Лемма 10. Если у состояния равновесия О существует эллиптическая область ga, образованная траекторией Ь, то у этого состояния равновесия либо существует еще одна отличная от ga эллиптическая область, либо хотя бы одна со- и одна а-сепаратриса. [c.329]

Одна из входящих в границу сектора g полутраекторий положительна, а другая отрицательна, и эти полутраектории не являются сепаратрисами. Поэтому в силу следствия из леммы 5 либо существуют лежащие в секторе g а- и со-сепаратрисы состояния равновесия О, либо в этом секторе лежит петля о. В последнем случае эллиптическая область ga отлична от области ga, так как эти области содержатся соответственно в двух областях g и g, не имеющих общих точек. Лемма доказана. [c.329]

Лемма 12. Существует топологическое отображение замкнутых эллиптических областей ga на g, переводящее траектории в траектории, при котором сохраняется заданное соответствие между точками Ь и Ь. [c.345]

Лемма 3. Если положительное направление обхода канонической кривой Е индуцирует на эллиптической дуге 8 направление совпадающее с направлением по I (или противоположное направлению по 1), то направление положительного обхода петель, принадлежащих области //, также совпадает с направлением по I (противоположно направлению по 1). [c.351]

Леммы об эллиптических областях. Пусть да и — Две эллиптические области, целиком лежащие в II(О). Возможны следуюи1,ие случаи [c.328]

Предположим, что д — тот из этих секторов, у которого все достаточно близкие к точке О точки принадлежат области Пусть дуга кривой С, входящая в границу этого сектора, есть М1 М1. Если бы на этой дуге существовала отличная от ее концов точка Л/ -, то между иолутраск-ториями и /, " лежала бы одна из полутраекторий Ь). Но тогда эта полутраектория должна была бы проходить через точки эллиптической области 0 1 что, очевидно, невозможно, так как в этой об.пасти не лежит особых траекторий и не лежит ни одной из траекторий Ь. Лемма доказана. [c.347]

Лемма 4. Между двумя последовательными в циклическом порядке эллиптическими областями gaj и состояния равновесия О непременно лежит по крайней мере одна стремящаяся к состоянию раеновесия О особая полутраектория. [c.356]

И обозначим его через g ,. Сектор ограничен двумя положительными полутраекториями Р О и Pf +iO, точкой О и дугой без коптакта с концами Pk и Pk+i- При этом полутраектории Р О и Ph+iO принадлежат соответственно траекториям Ц и L ( петлям ), ограничивающим области gai и g(j2- Но тогда точки Pk и Pk+i, как принадлежащие различным эллиптическим областям, принадлежат и различным ячейкам. Следовательно, на дуге без контакта 1 , соединяющей точки Р и P +i, имеется по крайней мере одна точка М, принадлежащая границе ячейки. Проходящая через точку М траектория является особой (в силу определения ячеек) и в точке М входит при возрастании t внутрь области g . Следовательно, полутраектория Ьм является особой полутраекторией, стремящейся к точке О и лежащей между областями и go..- Лемма доказана. [c.357]

Можяо считать, что и траектория Ьо, проходящая через точку является такой траекторией и, следовательно, представляет из себя петлю. Все траектории, лежащие внутри этой петли, могут быть только такими же петлями, лежащими одна внутри другой. Действительно в силу 1) и 2) не может быть петли, целиком лежащей справа от оси у. Аналогично не может быть и петли, целиком лежащей слева от оси у. Отсюда же следует, что не может быть двух различных эллиптических областей, расположенных между траекториями Ь и Ь ,- Но тогда, очевидно, всякая достаточно малая окрестность ги точки О удовлетворяет первому утверждению леммы. [c.390]

Нам остается теперь псрс11ти от системы (А,) к исходной системе (А), применив лемму 1 и замечание 1. Из этой леммы и замечания следует, что в рассматриваемом случае, т. е. при п<Ст, п =7 О и 02,11-1 <С О состояние равновесия О (О, 0) системы (А) является топологически.м узлом, если п четно, состоянием равновесия с эллиптической областью, если к —нечетно. При этом если > О (Ьп < 0), то эллиптическая область расположена ниже (выше) гиперболической (Грис. 239) для случая > 0). [c.401]

Пусть, как и выше, С/ (О) — Бо-окрестность состояния равновесия О, кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволинейные секторы gi, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разделяют окрестность Ugg (О), подразделяются особыми полутраекториями, не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криво.линей-ные секторы. Принимая во внимание лемму 5 17, нетрудно убедиться в том, что между двумя последовате.льными в циклическом порядке особыми полутраекториями лежит а) со-параболическии ссктор, если обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе полутраектории отрицательны б) эллиптическая или гиперболическая область, если одна из этих полутраекторий положительна, а другая отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные эллиптические об.ласти состояния равновесия. [c.357]

Полностью аналогичное утверждение справедливо также и относительно других соответствующих друг другу по схеме особых элементов, точки которых являются концами элементарных и седловых дуг, т. е. относительно орбитно-неустойчивых полутраекторий 1 и = 0 (W), с концом на границе областей G и G . угловых иолутраек-торий W и — 0 (L - ), граничных и угловых дуг траекторий / и Z = 0 (I), I и = в (2), а также относительно соответствующих друг другу по схеме эллиптических дуг. В сплу леммы 17 28 один конец всякой эллиптической дуги всегда является концом а-дуги, а другой концом м-дуги. [c.488]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...