Пересечение траектории с дугой без контакта

Приведем два элементарных предложения, касающихся пересечения траектории с дугой без контакта [c.42]

Основная теорема. Приведем сначала следующие основные вспомогательные предложения, касающиеся пересечения траектории с дугой без контакта. [c.46]

Вернемся теперь к рассмотрению свойств предельных траекторий. Пусть Ь+ — полутраектория, о — ее предельная траектория, отличная от состояния равновесия, Мо — точка траектории и — дуга без контакта, проходящая через точку Мо- В силу следствия 1 из леммы 2 на дуге 0 кроме точки Мо не лежит ни одной точки траектории Ьо, а в силу следствия 2 той же леммы все точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о лежат на этой дуге по одну сторону от точки Мо- [c.110]

Л е м м а 4. Если точки пересечения полутраектории с дугой без контакта 1о расположены на части дуги о, лежащей по положительную отрицательную) сторону траекторий Ьо- то точки пересечения той же полутраектории Ь+ с дугой без контакта I также расположены на части дугу I, лежащей по положительную отрицательную) сторону от о- (На рис. 60 точки пересечения полутраектории Ь с дугами 1о и I лежат по отрицательную сторону от Ьо-) [c.110]

Пусть для определенности все общие с 1о точки полутраектории расположены на части 1а, лежащей по положительную сторону Ьд. Если М — какая-нибудь отличная от Мд точка траектории Ьд и I — дуга без контакта, проведенная через точку М, содержащая точку М внутри и кроме точки М не имеющая общих точек с траекторией Ьд, то все точки пересечения полутраектории с дугой без контакта I будут также расположены на части этой дуги, лежащей но положительную сторону траектории Ьд. [c.412]

Расположение траекторий в окрестности д>ти без контакта. В предыдущем пункте рассматривалось пересечение дуги без контакта с отдельной траекторией. Сейчас мы рассмотрим всю совокупность траекторий, пересекающих дугу без контакта в окрестности этой дуги. [c.74]

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что замкнутая траектория Ь имеет не менее двух различных точек пересечения с дугой без контакта I. Пусть М1 и М , — две такие точки, соответствующие значениям параметров и 2 ( 1 < г)- Мы будем предполагать, что при промежуточных значениях времени /1 < < 2 траектория Ь не пересекается с дугой I. [c.90]

Вспомогательные предложения о характере пересечения траекторий с циклами и дугами без контакта [c.71]

Доказательство. Предположим противное, т. е. что траектория L имеет бесчисленное множество точек пересечения с некоторой дугой без контакта I, причем эти точки соответствуют значениям t, принадлежащим сегменту [а, р]. Выберем из этих значений t сходящуюся [c.74]

N1 и Р1), пусть 1 — траектория, проходящая через эту точку, и ее точка пересечения с циклом без контакта С. Точки Q и 8 делят С на две дуги без контакта, а дуги и К8 траекторий Ь и делят область Л [c.430]

Предположим сначала, что они не имеют общих точек, и рассмотрим простую замкнутую кривую С , состоящую из I, и седел О и О. Эта замкнутая кривая, очевидно, целиком лежит в выбранной. е-окрестности I. Сепаратриса системы (Л ), очевидно, является дугой без контакта для траекторий системы (Л) (так как поле системы (Лд) повернуто на постоянный угол по отношению к полю системы (Л)), так что все траектории системы (Л) пересекают в одном и том же направлении. Среди пересекающих траекторий системы (Л) заведомо существуют траектории, отличные от сепаратрис седел О и О. Пусть V — такая траектория. Очевидно, в точке ее пересечения с либо при возрастании, либо при убывании t [c.452]

Следствие 2. Предположим, что траектория Ь имеет более двух точек пересечения с дугой без контакта I, и пусть М1, Мо, Мз,. . . —конечное или счетное множество таких точек. Предположим, далее, что при каком-нибудь движении по траектории эти точки являются последовательными точками пересечения с дуго11 I, т. с. соответствующие им значения времени I, 12, t ,,. .. меняются монотонно — скажем, [c.89]

Следствие 2 вытекает из утверждении а) и в) леммы. Коротко содержание его можно выразить следующим образом послес оеа/пелькые по I точки пересечения траектории Ь с дугой без контакта I являются также точками, последовательными по 8. [c.89]

I. Точки пересечения незамкнутой траектории Ь с дугой без контакта, соседние по значениям i, являются также соседними и на дуге I. Действительно, предположим, что точки пересечения М и М2 траектории Ь с дугой без контакта I соответствуют значениям 2 и что при значениях 1 между 1 и I2 У траектории Ь нет больше общих точек с дугой I. Для определенности предположим, что 1 > 2. Тогда, очевидно, возможен один из случаев, представленных на рис. 21. Часть М1М2 дуги I, очевидно, уже не может иметь общих точек с траекторией Ь, так как ни часть траектории Ь, соответствующая значениям I> II, ни часть, соответствующая значениям t < I2, не может уже больше пересечь часть М1М2 дуги Цв противном случае траектория, очевидно, должна была бы пересечь эту дугу I в противоположном направлении, что невозможно). [c.46]

Следствие 1. Пусть Ь — незамкнутая траектортш, пересекающая дугу без контакта I более чем в одной точке ( 1), М2 ( 2) — Две последовательные по t точки ее пересечения с дугой I ( < 2) и С — простая замкнутая кривая, состоящая из М1М2 траектории Ь и части М Мг дуги I (рис. 68). Если область Г, лежащая внутри кривой С, не содержит граничных точек области С, то она содержит по крайней мере одно состояние равповесия. Действительно, в силу леммы Г1 3, одна из двух полутраекторий или лея ит целиком (если ио считать ее начала) внутри кривой С. Пусть для определенности это полутраектория Все ее предельные точки лежат, очевидно, в области Г. Либо среди этих предельных точек есть состояние равновесия, и тогда паше утверждение доказано, либо множество этих предельных точек является замкнутой траекторией, лежащей в области Г. Но тогда по теореме 16 внутри этой замкнутой траектории, а следовательно, в области Г имеется хотя бы одно состояние равновесия. Утверждение доказано. [c.117]

Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установленные в п. 5 4. Пусть 0 — отличная от состояния равновесия траектория, предельная для полутраектории Ь, входящая, следовательно, в состав некоторого континуума Кш- Пусть Мо — точка этой траектории и 1(, — проведенная через точку Мо и содержащая ее внутрп дуга без контакта. В силу следствия 1 из леммы 2 3 п. 4 на дуге кроме точки Мд не может лежать больше уже ни одной точки траектории В силу следствия 2 из той же леммы точки пересечения полутраектории с дугой 1 расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону Ьд, либо все на части этой дуги, лежащей по отрщательную сторолу Ьд. [c.412]

Следствие 2. Пусть траектория Ь пересекает дугу без контакта I более чем в одной точке, пусть Р и Р2— две последовательные по i точки ее пересечения с дугой I и С — простая замкнутая кривая, состоящая из части Р1Р2 дуги I и дуги Р1Р2 траектории Ь (рис. 26). Если внутри замкнутой кривой С не лежат точки границы области С, то внутри нее непремеч-но должно лежать хотя бы одно состояние равновесия ). [c.50]

Действительно, пусть О — одна из точек пересечения полутраектории Ь с отрезком РхР - Изображающая точка, помещенная в момент t = z ъ точку Q, при значениях либо войдет в область, лежащую внутри замкнутой кривой Р1ЖР2Р1, образованной дугой РхМРч полутраектории и отрезком без контакта Р Р , либо выйдет из этой области. Пусть, например, изображающая точка при входит в указанную область, тогда она уже не сможет выйти из нее, так как она не может выйти ни через дугу Р МР (траектории не пересекаются), ни через отрезок РхР. (все траектории пересекают отрезок без контакта в одном и том же направлении). Следовательно, изображающая точка уже не сможет пересечь отрезок Я,Ра при [c.406]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...