Устойчивость по Дирихле

Безусловная устойчивость или устойчивость по Дирихле. Как уже указывалось в п. 7, мы предполагаем распространить здесь ионятие об устойчивости со случая состояний равновесия ( 1) на случай явлений движения. При этом для более широкой применимости результатов рассмотрим вопрос в наиболее общей и абстрактной форме. [c.377]

Во всех случаях, когда, руководствуясь соображениями устойчивости, можно или желательно ограничиться при рассмотрении отклонения частью характеристических параметров, мы будем говорить, что речь идет о приведенной устойчивости (или неустойчивости) или об устойчивости по Раусу, в противоположность этому мы назовем безусловной уетойчивостью (или неустойчивостью), или устойчивостью по Дирихле, устойчивость, которой мы занимались в предыдущем пункте. [c.381]

Разделение понятия устойчивости на устойчивость по Дирихле" и устойчивость по Раусу" ничем исторически не оправдано, так как и Дирихле и Раус не давали точного определения этого понятия. Впервые Н. Е. Жуковский обратил внимание На то, что задачу об устойчивости движения консервативной системы можно ставить иначе, чем это сделано у Рауса, и только А. М. Ляпунов дал окончательное, общепринятое теперь определение понятия об устойчивости движения. [c.424]

Задание Д-21. Определение положений покоя (равновесия) консервативной механической системы с одной степенью свободы и исследование их устойчивости (по теореме Лагранжа—Дирихле) [c.320]

Определить положения покоя рассматриваемой системы и исследовать их устойчивость по теореме Лагранжа —Дирихле. [c.320]

Как мы уже отмечали в гл. VI (пп. 21, 23), то обстоятельство, что все характеристические показатели чисто мнимые, недостаточно для обеспечения устойчивости в строгом смысле однако оно будет достаточно для линейной устойчивости, по крайней мере вообще. Эта оговорка учитывает ту возможность, что характеристическое уравнение допускает кратные корни, наличие которых, как и в элементарном случае движений, определяемых одним линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами (т. I, гл. И, п. 43, в), может поставить под сомнение устойчивость. Это наличие кратных корней не подвергает сомнению устойчивость в случае голономных систем, как это косвенно следует из теоремы Дирихле для более общих систем, таких, например, как система (16 ), требуется, наоборот, дополнительное исследование. [c.237]

Постоянная не имеет существенного значения. Если дз о, равновесие устойчивое (по теореме Лагранжа — Дирихле) если д < 0, равновесие неустойчивое (по теореме Ляпунова) если, наконец, дд = 0, то аналогично рассматривают <24, Вообще, если первый, не равный нулю, коэффициент положителен, равновесие устойчиво, если отрицателен, — неустойчиво. [c.378]

Итак, достаточное условие устойчивости может быть сформулировано так пусть с = min[l/A(z)] > О, если с/сд > 1, где ко — наименьшее собственное значение вспомогательной задачи Штурма-Лиувилля (2.30) с нулевыми граничными условиями Дирихле, то тогда течение устойчиво по Ляпунову в норме энстрофии (4.3). [c.664]

Теорема Лагранжа—Дирихле. II. Если в нуле вом положении энергия положения изображающей систеЩ точки имеет равный нулю изолированный минимум, то равновесие в этом положении устойчиво по Ляпунову. [c.398]

Следовательно, по теореме Лагранжа — Дирихле это положение рав новесия устойчиво, если [c.583]

Конечно, после определения реакций и положений равновесия по этому способу для ответа на вопрос об устойчивости равновесия надо вернуться к теореме Лагранжа — Дирихле. [c.585]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной (см. 49) и этим обстоятельством следует воспользоваться так, чтобы в. положении равновесия, при котором все обобщенные координаты равны нулю, потенциальная энергия также равнялась нулю. По теореме Дирихле, равновесие устойчиво, если около этого положения имеется область, н которой потеициаль-ная энергия является определенно-положительной функцией обобщенных координат. Это имеет место в нашем случае [c.438]

Как видно 113 этого равенства, при О =0 потенциальная энергия системы имеет минимум, что, по теореме Дирихле (см. 49), означает устойчивое равновесие. Разложим os в в ряд. Тогда [c.441]

Необходимым и достаточным условием равновесия бруска является условие, чтобы его центр тяжести находился строго над осью бревна. По теореме Дирихле равновесие устойчиво, если при достаточно малом перемещении бруска высота его центра тяжести увеличивается. Сообщим бруску малое перемещение. Оно является качением без скольжения бруска по бревну (рис. 121, в). При этом брусок наклонится на малый угол ф и будет касаться бревна точкой Л, а прежняя точка касания при повороте бруска переместится вместе с ним и займет положение Bi. По условиям качения без скольжения прямолинейный отрезок ABj равен дуге АВ = ф. Центр тяжести бруска переместится из С в С . [c.243]

По теореме Дирихле потенциальная энергия в положении устойчивого равновесия системы имеет минимум, следовательно, вто- [c.268]

Предположим, что система состоит из одной точки. Приведенным пример показывает, что гармонический колебаниям точки соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по эллипсу. Этот результат является частным случаем геометрической интерпретации, положенной в основу второго способа доказательства теоремы Лагранжа—Дирихле об устойчивости равновесия ( 87). [c.278]

Согласно теореме Лагранжа — Дирихле, если этот экстрему.м представляет минимум, то иолол<ение равновесия устойчиво. Так, в нижнем вертикальном положении математического маятника потенциальная энергия имеет минимум по сравнению с ее значениями в любых других положениях маятника это положение соответствует устойчивому равновесию маятника. [c.337]

Теорема Лагранжа — Дирихле приводит в этом случае к следующему положению если центр масс системы тяжелых точек занимает наинизилее из возможных смежных положений, то это положение равновесия системы будет устойчивым. Торричелли (1608—1647) в исследованиях по статике твердых и жидких тел считал этот принцип основным и самоочевидным. Лагранж в Аналитической механике использовал принцип Торричелли для доказательства принципа возможных перемещений. Не останавливаясь на подробном изложении этого классического доказательства, приведем следующее простое рассуждение. Заменим приложенные к системе силы натяжениями переброщен-ных через идеальные блоки нитей, к концам которых привешены грузы, соответственно равные по величине приложенным к системам силам. Рассматривая полученную таким образом новую систему как эквивалентную предыдущей и принимая [c.341]

Определить положения покоя консервативной механической системы с одной степенью свободы, пренебрегая массами упругих элементов. Провести исследование устойчивости найденных положений покоя по теореме Лагранжа — Дирихле. [c.320]

Исследование устойчивости положений покоя рассматриваемой системы. Если в положении покоя (ф = фк) потенциальная энергия исследуемой системы имеет минимум, то по теореме Лагранжа— Дирихле это положение покоя устойчиво . [c.330]

Задание Д-22. Определение условий устойчивости заданного состояния покоя (равповесия) консервативной механической системы с одной и двумя степенями свободы (по теореме Лагранжа—Дирихле) [c.332]

По теореме Лагранжа —Дирихле состояние покоя рассматривае-май системы являются устойчивым, если наряду с равенством (1) выполняется условие [c.336]

По теореме Лагранжа—Дирихле состояние покоя рассматриваемой системы является устойчивым, если наряду с равенствами (1) выполняются два условия Сильвестра [c.341]

Если W>0, то по теореме Дирихле стержень устойчив, в прямолинейном состоянии, если < О, стержень неустойчив. Для того, чтобы прийти к этому выводу, нет необходимости ссылаться на теорему Дирихле, если РА > U, сила Р производит работу большую, чем может накопиться в виде упругой энергии стержня, избыточная работа идет на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движешие, т. е. прогибается дальше, по мере увеличения прогиба увеличивается и избыточная работа, таким образом, ирогиб растет ускоренно. В этом и состоит потеря устойчивости. Для проверки условия устойчивости нужно [c.122]

Теорема Лагранжа — Дирихле дает критерий, позволяющий утверждать, что равновесное положение консервативной системы устойчиво, если ее потенциальная энергия имеет минимум. Однако по этой теореме нельзя определить, каково равновесие системы, если ее потенциальная энергия в равновесном положении не имеет минимума. В этих случаях применяют следующие теоремы Ляпунова о неустойчивости равновесия. [c.16]

Периодическая форма решения (15) показывает, что, так как С, С, С, . .. по предположению малы, конфигурация системы никогда не будет значительно отличаться от конфигурации в положении равновесия. Следовательно, обращение значения V в минимум указывает на устойчивость, что находится в согласии с аргументацией Дирихле. [c.223]

Устойчивое и неустойчивое равновесие. Критерий устойчивости. Положения равновесия различаются по характеру движения, которое может совершать рассматриваемая система в соседстве с этими положениями. Если система, при достаточно малом начальном отклонении от положения равновесия и при достаточно малой начальной кинетической энергии, во всё время своего последующего движения будет находиться так близко от положения равновесия, как нам угодно, то положение равновесия называется устойчивым, точнее—положением устойчивого равновесия. Всякое же другое положение равновесия, не удовлетворяющее приведённым условиям, называется неустойчивым. Для консервативных систем Лежен-Дирихле (Lejeune-Diri hlet) дал следующее достаточное условие устойчивости если силовая [c.389]

Чтобы выяснить устойчивость механизма в верхнем положении, мы должны исследовать вторую производную от потенциальной энергии по обобщенной координате. Механизм в верхнем положении будет устойчивым, если выполняется условие Лагранжа — Дирихле, т. е. [c.34]

Теперь виден порядок применения теоремы Лагранжа —Дирихле- нужно разложить потенциальную энергию в ряд по степеням Яъ . Яз, ограничиваясь членами второго порядка малости, определить обобщенные коэффициенты жесткости с,, и составить определители (20.15). Если все А > О, то положение равновесия устойчиво. [c.459]

Рассмотрим один простой пример в цилиндрическом желобе (рис. 189), образующие которого горизонтальны и параллельны оси Ох, находится в наинизшем положении в равновесии весомый шарик потенциальная энергия поля тяжести в этом положении шарика минимальна — однако, если сообщить шарику весьма малую начальную скорость г о, направленную вдоль наинизшей образующей, то он будет двигаться по закону X = Vot и, как бы мала ни была начальная скорость Vo, он через достаточно большой промежуток времени сколь угодно далеко уйдет от своего начального равновесного положения. Как это совместить с тем, что по теореме Лагранжа — Дирихле равновесие как будто должно быть устойчивым [c.434]

А22 О имеем минимум и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво при А22 < О экстре1У1ума нет и по первой теореме Ляпунова равновесие неустойчиво. Мы можем свести результаты в следующую таблицу [c.439]

Мы подчеркивали, что теорема о равновесии для материальной системы (п. 3°, 1) доказана для общего случая материальной системы, имеющей любое число степеней свободы можно ли при этих же условиях считать справедливой и теорему Лагранжа — Дирихле До А. М. Ляпунова все авторы так и поступали — механически распространяли эту теорему, доказанную при конечном числе степеней свободы, на случай бесчисленного множества степеней свободы А. М. Ляпунов, рассматривая устойчивость равновесия твердого тела, плавающего в жидкости, писал по поводу этой теоремы ... мы считаем полезным привести самостоятельное доказательство ее, относящееся к этому случаю, ибо при общем доказательстве ее весьма важное значение имеет предположение, что потенциал зависит от конечного числа переменных, определяющих положение системы, чего не будет в случае, когда система состоит отчасти из жидкости ). [c.441]

V имеет при /1 =. .. = = О строгий минимум и по теореме Лагранжа — Дирихле равновесие устойчиво если же форма V2 — определенная отрицательная, то V имеет при ди. .. .., ди = О строгий максимум и равновесие неустойчиво (по [c.498]

Г. В том частном случае, когда все заданные силы являются силами тяжести, мы имеем V = MgZ . В частности, если система имеет одну степень свободы и является плоской фигурой, движущейся в своей плоскости Оху, то надо исследовать траекторию Г ее центра тяжести 1) найти прежде всего те ее точки, в которых касательная к Г горизонтальна 2) если в такой точке кривая Г направлена вогнутостью вверх, то имеем минимум ординаты центра тяжести, т. е. минимум потенциальной энергии, и по теореме Лагранжа —Дирихле равновесие устойчиво 3) если в точке М вогнутость направлена вниз (случай максимума), или если имеем точку перегиба, то по теоремам Ляпунова можно утверждать, что равновесие неустойчиво, если разложение ординаты у точки С в окрестности точки М в ряд Маклорена по степеням обобщенной координаты qi начинается с члена, содержащего q, — в противном случае необходимо рассмотрение [c.499]

Итак, если центр тяжести С лежит ниже точки пересечения Со прямой СР с кругом перегибов Го, то потенциальная энергия в этом положении достигает минимума и по теореме Лагранжа — Дирихле равновесие устойчиво. [c.500]

Если положение равновесия системы является устойчивым, то на основании теоремы Лежен — Дирихле потенциальная энергия V принимает в положении равновесия минимальное значение. В этом случае при малых Яг, Яв функция V будет однородной положительной квадратичной формой обобщенных координат. Как уже было указано, кинетическая энергия по физическому смыслу есть величина положительная. Таким образом, V и Г —однородные положительные квадратичные [c.507]

При нек-рых ограничениях возможны более простые подходы. Исследование устойчивости равновесия упругих систем, загруженных потенциальными силами, может быть проведено энергетич. методом, основанном па теореме Лагранжа—Дирихле, согласно к-рой в ноложении устойчивого равновесия суммарная потенц. энергия упругой системы и внешних сил принимает минимальное значение, а в по-ло-кении неустойчивого равновесия — максимальное. Т. о., задача сводится к исследованию свойств функционала суммарной потенциальной энергии, что можпо заменить последовательным рассмотрением смены форм равновесия при и шенении параметров системы. В окрестности точки разветвления, наряду с исследуемой формой равновесия, существуют нек-рые смежные формы. При переходе через эту точку происходит потеря устойчивости. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной формы равновесия к другой. Типичный пример — нрощелкивание топкой упругой оболочки, сжатой осевыми силами. Метод в теории У. у. с., основанный на рассмотрении точек разветвления и предельных точек, наз. статическим [I, 2]. [c.276]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...