ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Положение устойчивого равновесия. Теорема Лагранжа — Дирихле из "Курс теоретической механики. Т.2 " В настоящее время теория колебаний систем с конечным числом степеней свободы является одним из наиболее развитых разделов механики. Основные вопросы теории колебаний рассматриваются в ряде специальных монографий ). Поэтому в курсе теоретической механики незачем пытаться охватить вопросы теории колебаний с достаточной полнотой. Здесь уместно лишь ознакомление читателей с основами этой обширной области механики. [c.215] В первом томе были рассмотрены некоторые простейшие вопросы теории колебаний материальной точки с одной степенью свободы. В этой главе мы перейдем к изучению теории колебаний систем с несколькими степенями свободы, ограничившись рассмотрением малых колебаний в окрестности положения устойчивого равновесия. Затем вновь остановимся на рассмотрении колебаний системы с одной степенью свободы. Будут изучаться нелинейные и квазигармонические колебания, не встречавшиеся в элементарной теории, изложенной в первом томе. [c.215] Колебания, о которых идет речь далее, происходят вокруг положения устойчивого равновесия системы. Поэтому следует сначала установить понятие о положении устойчивого равновесия и рассмотреть некоторые теоремы, содержащие определение признаков, характеризующих это положение. [c.215] Напомним, что вопрос о положении устойчивого равновесия одной материальной точки рассматривался в динамике точки, 208, т. I. [c.215] Определение положения устойчивого равновесия, рассмотренное нами в 208 первого тома, распространяется и на случай системы материальных точек. [c.215] Ниже предполагается, что все вводимые величины — безразмерны. [c.216] Условимся рассматривать системы лишь с голономными связями. [c.216] Следовательно, выполняются необходимые условия существования экстремума функции П. [c.216] Пусть положение равновесия системы определяется координатами 7 ( =1, 2,. .., ТУ). Это положение равновесия называется устойчивым, если выполняются условия, рассмотренные ниже. [c.216] Предположим, что система выведена из положения равновесия. Обозначим координаты системы в начальный момент времени /о, начальные скорости обозначим а. [c.216] Глубокие обобщения теоремы Лагранжа — Дирихле содержатся в работах А. М. Ляпунова. Некоторые результаты А. М. Ляпунова рассмотрены ниже. [c.217] Теорема Лагранжа — Дирихле заключается в следующем если в положении равновесия системы материальных точек ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение является положением устойчивого равновесия. [c.217] Доказательство этой теоремы не отличается принципиально от доказательства, рассмотренного в 208 первого тома. [c.217] Предположим, что в точке М(д . .., 5 )пространства конфигураций потенциальная энергия системы П имеет минимум. Допустим, что минимальное значение П равно нулю. Этим мы не ограничим общность доказательства, так как функция П определяется с точностью до аддитивной постоянной. [c.217] Согласно свойствам функций в окрестности точки минимума можно утверждать, что всегда существуют достаточно малые пределы изменения приращений координат, которым соответствует некоторая область минимума потенциальной энергии, в которой потенциальная энергия положительна. [c.217] Неравенства (а) определяют область минимума П. Если в некоторых из соотношений (а) будет знак равенства, то соответствующая точка лежит на границе области минимума. На границе области минимума потенциальная энергия П приобретает также положительные значения. Предположим, что наименьшее из них равно А. [c.217] Здесь Го — кинетическая энергия, соответствующая начальным скоростям, По = П( 7]о,. , Ят) — потенциальная энергия системы в ее начальном положении после вывода ее из состояния равновесия. [c.218] Вернуться к основной статье