Форма квадратичная для стержня

Определить приближенные значения критической сжимающей нагрузки Ркр при которой теряет устойчивость идеальный стержень со свободно опертыми концами (см. рис, 10.6, а), имеющий постоянную жесткость EI при изгибе. При задании функции формы (прогибов) использовать .а) квадратичный трехчлен с одним параметром перемещения Ь) полином четвертого порядка с одним параметром перемещения. Сравнить полученные результаты с точным значением критической нагрузки. [c.546]

Обобщенные силы, по предыдущему, представляют собой производные от свободной энергии по параметрам а, /3, ., и, взятые с обратным знаком. Этот вывод имеет многочисленные приложения. Пусть мы хотим, например, составить уравнения равновесия упругого тела. Для этой цели мысленно выделим в упругом теле некоторый прямоугольный параллелепипед и рассмотрим напряжения, действующие на его грани, и некоторые величины а, определяющие деформацию, т. е. изменение линейных размеров и изменение углов. Свободная энергия, представленная как функция параметров а, для малых деформаций может быть разложена в ряд по возрастающим степеням а. Дифференцируя полученный ряд, мы определим напряжения. Из тщательно проведенных исследований видно, что вполне достаточно ограничиться в ряде для Ф членами второго порядка. Если за нормальное состояние тела принять его недеформированное состояние, то пропадет член ряда, не зависящий от параметров. Поскольку в нормальном состоянии никаких напряжений нет, то обратятся в нуль и члены с первой степенью а, так что Ф можно считать однородной квадратичной формой от деформаций . Представим себе, например, растянутый и в то же время закрученный стержень. Обозначим через А удлинение, а через из — угол кручения. При заданном А, стержень обладает одинаковыми внутренней энергией и энтропией, а следовательно, и свободной энергией, независимо от того, закручен ли он на данный угол вправо или влево поэтому Ф не содержит нечетных степеней ш. Итак, [c.72]

Введя, таким образом, векторхарактеризующий деформацию, и выяснив его свойства, мы можем вывести выражение для упругой свободной энергии изогнутого стержня. Упругая энергия (отнесенная к единице длины стержня) является квадратичной функцией деформации, т. е. в данном случае квадратичной функцией компонент вектора й. Легко видеть, что в этой квадратичной форме должны отсутствовать члены, пропорциональные кли Действительно, поскольку стержень однороден вдоль [c.99]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...