Множество наблюдаемых совместное

Примечание. Если подходить не очень строго, то данное нами определение понятия совместности означает, что все наблюдаемые совместного множества могут быть одновременно измерены со сколь угодно высокой точностью на достаточно большом множестве состояний (насколько велико это множество, говорится в точном определении). Заметим, что потребовать одного лишь существования множества 2 s [c.58]

Л) — совместное множество наблюдаемых. Проведенное нами рассуждение без труда обобщается до следующего утверждения [c.60]

Теорема 1. Пусть Ъ —совместное множество наблюдаемых, а (23) — подмножество множества 91, полученное из элементов множества 93 путем их сложения, умножения на скаляры и возведения в степень. Тогда — совместное множество наблюдаемых. [c.60]

Теорема 2. Симметризованное произведение ассоциативно и дистрибутивно на 31(93) для любого совместного множества наблюдаемых 8. [c.62]

Остановимся теперь подробнее на понятии совместных множеств наблюдаемых. [c.77]

Теорема 8. Пусть Ъ —совместное множество наблюдаемых, а (93) — множество всех полиномов относительно элементов В е 93. Тогда замыкание (93) множества (93) есть ассоциативная подалгебра Сигала алгебры 91. [c.77]

МЫ В дальнейшем усовершенствуем и обобщим на любую ассоциативную подалгебру Сигала произвольной алгебры Сигала. Один пример такого обобщения нам уже известен, а именно ассоциативная подалгебра (23), порожденная совместным множеством наблюдаемых. [c.82]

Отметим еще одно интересное следствие из теоремы 9. Пусть 58 множество наблюдаемых, таких, что алгебра (93) ассоциативна. Рассмотрением именно таких наблюдаемых и занимается по существу классическая теория. Поэтому с физической точки зрения представляется естественным утверждение о том, что эти наблюдаемые и даже все наблюдаемые, принадлежащие (33), совместны. Но с математической точки зрения подобное утверждение нетривиально, и мы будем рассматривать его как нашу очередную аксиому. [c.89]

Лемма. Последовательность Р попарно непересекающихся высказываний образует совместное множество наблюдаемых. [c.92]

Понятие состояния с нулевой дисперсией тесно связано с понятием одновременной наблюдаемости. Прежде всего заметим, что две наблюдаемые Л и В допускают одновременное измерение со сколь угодно высокой точностью, если система находится в состоянии ф, принадлежащем подмножеству д <2 . Если же это подмножество множества пусто, то измерить наблюдаемые Л и В одновременно со сколь угодно высокой точностью невозможно. С противоположной ситуацией связано понятие совместности наблюдаемых, к определению которого мы подойдем следующим образом [c.57]

ПОЛНОГО относительно 93, недостаточно даже для обычного определения совместности. А чтобы ввести наше определение совместности, необходимо существенно расширить множество 93. Наше определение само в известном смысле показывает, как следует расширить множество 93 его необходимо расширить до множества 51з всех наблюдаемых, допускающих в качестве состояний с нулевой дисперсией по крайней мере состояния некоторого полного множества Z s п д. Пользуясь алге- [c.58]

Примечание. В множество ф(93) входит полный набор всех состояний с нулевой дисперсией для любой наблюдаемой из ф (23). Содержание теоремы 1 настолько ясно с интуитивной точки зрения, что иногда (см., например, работу Сигала [356]) его считают частью определения совместности множества 23 наблюдаемых. Наша формулировка незначительно отличается от формулировки Сигала, поскольку мы стремились прийти к степенной структуре на 91 естественным образом (вместо того чтобы с самого начала постулировать на 91 всю алгебраическую структуру) и понятие совместности казалось нам априори логически независимым от степенной структуры. Как показывает теорема 1, оба альтернативных определения совместности взаимосвязаны. [c.60]

Альтернативная формулировка 6-й аксиомы о структуре позволяет рассматривать множество, содержащее три элемента А, С и А, В, С . Из первой части постулата следует, что любые две наблюдаемые этого множества совместны. Основываясь же на второй части постулата нетрудно видоизменить доказательство теоремы 2, приспособив его к данному случаю, и доказать, что (Л, В, С = 0. [c.64]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Доказательство. Пусть А — произвольная положительная наблюдаемая, а (Л) — подалгебра Сигала, порожденная Ли/. Эта алгебра ассоциативна (поскольку Л и I совместны). Из теоремы 9 известно, что алгебра В(Л) изоморфна некоторой алгебре К (Г). Пусть я означает этот изоморфизм. Говоря о положительной наблюдаемой Л, мы имеем в виду, что (ф Л) 0 для всех ф е и, в частности, для тех состояний, которые соответствуют точкам пространства Г. Следовательно, функция п (Л) положительна. Пусть / — положительный квадратный корень из нее / принадлежит ( (Г). Итак, существует элемент В е (Л), такой, что я (В) = [, а поскольку я — изоморфизм, выполняется равенство В = А. Из положительности / следует, что у В) 0 для всех у е Г. Поскольку же множество у полно относительно (Л), мы имеем (ф для всех ф е , т. е. В > 0. [c.82]

Доказательство. Достаточность следует из предыдущей леммы. Действительно, предположим, что такое разложение существует. Поскольку P°Q = R, множество Q) совпадает с множеством (/ , Р, Q ). Последнее же, как мы только что установили, ассоциативно. Таким образом, Р и Q — одновременно наблюдаемые и, согласно 8-й аксиоме о структуре, совместны. Необходимость следует из построения. В самом деле, предположим, что высказывания Р и Q совместны. Мы знаем (теорема 8), что множество Р, Q) ассоциативно. Следовательно, мы можем построить элементы R = P°Q, 1 = Р — Я и Ql = = Q — R, которые все принадлежат множеству (Р, Q). Из ассоциативности же последнего следует, что построенные высказывания действительно являются непересекающимися и, таким образом, удовлетворяют условию теоремы. [c.93]

Перечисленные нами свойства наделяют множество я (91) структурой, известной в математике под названием действительной коммутативной йордановой алгебры (или алгебры Иордана) ). закон композиции которой в нашем случае реализуется сложением, умножением на действительные числа и взятием симметризованного произведения. Как мы уже видели, структура такой алгебры позволяет определить понятие совместности наблюдаемых. Возникает естественный вопрос нельзя ли перенести структуру йордановой алгебры на само множество 91 Если бы это было возможно, то у нас имелись бы все основания утверждать, что нам удалось провести алгебраическую аксиоматизацию квантовой механики, не прибегая к фундаментальному постулату о гильбертовом пространстве. Заметим, что множество всех наблюдаемых квантовой системы, подчиняющейся правилам суперотбора ), также удовлетворяет всем названным нами аксиомам, но при этом не предполагается, что обратное утверждение постулата 1 справедливо в общем случае. Правило суперотбора сводится к тому, что из соотношения [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...