Замыкание симметричного оператора

Пусть А — линейный оператор, определенный на элементах линейного многообразия 2)(А) гильбертова пространства Ж и принимающий значения в Ж. Многообразие (А) называется областью определения оператора А, а линейное многообразие 1 (А) = АФ Ф S) А)) —областью значений оператора А. Пусть В — оператор, определенный аналогично оператору А. Если E>(A) содержится в 3) В) и ЛФ==БФ для всех Фе (Л), то оператор А называется сужением оператора В на (Л), а оператор В — расширением оператора Л на Ю В). Пусть Л и Л —два линейных оператора, определенных в Ж Л — на 2)(А), а Л — на (Л ). Операторы Л и Л называются сопряженными, если (W, ЛФ) = (Л Ч , Ф) при всех Фе (Л) и всех е А ). Говорят, что линейный оператор Л имеет всюду плотную область определения )(А), если замыкание (Л) по норме, заданной в Ж, совпадает с гильбертовым пространством Ж. Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то существует единственный линейный оператор Л, называемый максимально сопряженным с Л, такой, что любой оператор А, сопряженный с Л, совпадает с сужением оператора Л на некоторое линейное многообразие (А ), содержащееся в (Л ). Линейный оператор В называется замкнутым, если для каждой последовательности Ф из S) B), элементы Ф которой сходятся (по норме) к некоторому вектору Ф Ж, их образы 6Ф сходятся (по норме) к некоторому вектору Т е и при этом Ф З) В) и ЙФ = Если оператор Л имеет всюду плотную область определения, то Л — замкнутый оператор. Оператор Л с всюду плотной областью определения называется симметричным, если 3) А) содержится в S) A ) и Л совпадает с сужением оператора Л на (Л). В этом случае оператор Л есть замкнутое симметричное расширение оператора Л и называется замыканием оператора Л. Говорят, что линейный оператор Л самосопряженный, если он симметричен и, кроме того, удовлетворяет условию (Л) — 2Е> А ). Вообще говоря, у симметричного оператора может быть не одно, а несколько самосопряженных расширений. В частности, симметричный оператор Л называется существенно самосопряженным, если его замыкание самосопряженно. В этом случае Л допускает лишь одно самосопряженное расширение, а именно А . Говорят, что линейный оператор Л ограничен (в области определения), если существует конечная положительная величина М, такая, что при всех Фе (Л) выполняется неравенство ЛФ М. В противном случае оператор Л называется неограниченным. Линейный оператор Л допускает (единственное) ограниченное расширение на подпространство (Л) [замыкание (Л) по норме] в том и только в том случае, если он ограничен на S)(A). Если оператор Л имеет всюду плотную область определения и ограничен на ней, то его можно неявно [c.21]

Обратимся теперь снова к формализму Фока. Физическая интерпретация операторов а (/) и а (/) вытекает из их определения. Если рассматриваемая система многих тел находится в состоянии, описываемом волновой функцией Ф, то а (/)Ф—волновая функция той же системы в состоянии, которое отличается от состояния, соответствующего функции Ф, лишь тем, что оно содержит на одну частицу больше. Новая частица находится в состоянии, описываемом одночастичной волновой функцией f, В этом смысле оператор а (/) есть оператор рождения частицы с волновой функцией и аналогично оператор аЦ) есть оператор уничтожения частицы с волновой функцией /, Среднее значение (ф а (/)о(/)) симметричного оператора N ( ) = а ( ) а (1), вычисленное для любого элемента Ф е равно среднему значению числа частиц с волновой функцией f, которые находятся в состоянии, описываемом волновой функцией Ф. Поэтому (самосопряженное) замыкание N симметричного оператора [c.22]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...