Момент пуассоновского действия

Пуассоновское действие группы С на М определяет естественное отображение Ра которое сопоставляет точке х линейную функцию Р. х) на алгебре . Это отображение назовем моментом пуассоновского действия группы О. [c.98]

Итак, каждой точке ж из Л/ мы сопоставили линейную форму на алгебре Ли. Легко проверить, что полученное отображение и есть момент рассматриваемого пуассоновского действия. [c.340]

Следствие. Пусть функция Гамильтона Н М инвариантна относительно пуассоновского действия группы С на М. Тогда момент является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н. [c.340]

Пример 3. Пусть группа С = 8 — окружность, и пусть она действует без неподвижных точек на многообразии У. Тогда возникает пуассоновское действие окружности на кокасательном расслоении М = Т У. Мы можем определить многообразия уровня момента Мр (коразмерности 1 в Л1) и фактор-многообразия Рр (размерность которых на 2 меньше размерности М). [c.344]

Если функция Н M- R инвариантна относительно пуассоновского действия группы G, то, по теореме 10, момент Ро является первым интегралом системы с функцией Гамильтона Н, [c.99]

Теорема. Пуассоновское действие связной группы Ли при отображении момента Р переходит в коприсоединенное действие группы С на дуальном к ее алгебре Ли й пространстве й (см. добавление 2), т. е. коммутативна диаграмма [c.340]

Предложение 1. Пуассоновское действие связной группы Ли О при отображении момента Р переходит в коприсоеди-ненное действие группы О на д, то есть коммутативна диаг- [c.98]

Пусть (N, L) — лагранжева снстема и группа Ли G действует на N. Лагранжиан L определяет преобразование Лежандра TN-i-T N. Композиция момента Pa T N- -S продолженисго пуассоновского действия О на симплектнческом многообразии T N и преобразования Лежандра совпадает с определенным выше моментом /с TN- S лагра жевой системы N, L) относительно группы G. [c.99]

Теорема 11. Пусть задано пуассоновское действие группы Ли G на симплектнческом многообразии (М, такое, что G сохраняет функцию Н и подмногообразие N. Тогда момент Рв принимает постоянное значение на движениях гамильтоновой системы со связями. [c.99]

Пусть (Л , <, >, V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Р), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассоновское действие на T N поскольку это действие свободное, то любое значение момента является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Мс (коразмерности k = a mG в М) и приведенное пространство состояний Мс (размерность которого на 2k меньше размерности AI). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении с6 мы имеем полунатуральную приведенную лагранжеву систему (Л , <, >, К, Qe) (см. п. 1.1, теорема 18). Приведенным лагранжианом L TN- R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x)=< x, x l2+V (x). [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...