ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Универсальные накрытия и метрика Пуанкаре из "голоморфная динамика " Пусть теперь 5 — рим ова поверхность. Тогда универсальное накрывающее многообразие 8 наследует структуру римановой поверхности, и каждо( накрывающее преобразование является конформным изоморфизмом 5. Согласно теореме об униформизации 1.1, поскольку эта универсально накрывающая поверхность 5 односвязна, она должна быть конформно изоморфной одной из трех модельных поверхностей. Таким образом, мы получаем следующую теорему. [c.26] В качестве любопытного следствия мы получаем замечательное свойство комплексного одномерного многообразия, которое впервые было доказано Радо (ср. Альфорс и Сарио.) По определению топологическое пространство называется а-компактным, если оно представимо в виде счетного объединения компактных подмножеств. [c.26] Мы теперь можем построить очень грубую классификацию всех возможных римановых поверхностей, которая будет состоять из двух простых случаев и одного сложного. [c.27] Если Г тривиальна, то 5 сама изоморфна плоскости С. [c.27] Если Г имеет две образующие, то она может быть описана как двумерная решетка Л С С, то есть является аддитивной группой, порожденной двумя комплексными числами, которые линейно независимы над М. (Два таких образующих, как 1 и /2, линейно зависимы над М и не порождают дискретную группу.) Фактор-пространство Т = С/Л называется тором. [c.27] Во всех трех подслучаях поверхность 8 наследует локально евклидову геометрию из евклидовой метрики (1г на ее универсальной накрывающей. Например, состоящая из точек ехр(27гг2 ) = -ш, плоскость с выколотой точкой С 0 имеет полную локально евклидову метрику 2тт (1г = (Такая метрика корректно определена с точностью до умножения на положительную постоянную, поскольку мы можем с тем же успехом использовать на универсальном накрытии и координату вида г = Хг + с, в этом случае (1г = Х(1г. Ср. следствие 1.6.) Будет удобно использовать термин евклидова поверхность для римановых поверхностей, допускающих полную локально евклидову метрику. Термин параболическая поверхность также широко используется в литературе. [c.28] Замечание. Здесь слово гиперболический упомянуто в связи с гиперболической геометрией или геометрией Лобачевского и Бойяи. (Ср. следствие 2.10 ниже.) К сожалению, термин гиперболический имеет в голоморфной динамике как минимум три существенно различных широко распространенных значения. Мы можем говорить о гиперболической периодической орбите (с множителем, не лежащим на единичной окружности), или о гиперболическом отображении ( 19), или о гиперболической поверхности, как здесь. Чтобы избежать путаницы, используя это слово в данном геометрическом смысле, я буду писать более точно — конформно гиперболично, сохранив термин динамически гиперболично для остальных двух случаев. [c.28] Включения В С С являются примерами непостоянных голоморфных отображений гиперболической поверхности В в евклидову поверхность С и затем в риманову сферу С. Однако, ни одного голоморфного отображения в противоположном направлении не существует. [c.29] Каждая гиперболическая поверхность имеет выделенную риманову метрику, определяемую следующим образом. Для начала рассмотрим односвязный случай. [c.30] Как немедленное следствие мы получим в точности такое же утверждение для верхней полуплоскости Н и для любой другой поверхности, конформно изоморфной диску В. [c.30] Эквивалентным образом, будем говорить, что f является изометрией относительно этой метрики. [c.31] Фактически, определяемая этой формулой метрика инвариантна относительно каждого конформного автоморфизма g полуплоскости И. Так, если выбрать некоторую произвольную точку wi G И и положить g wi) = W2, ТО g МОЖНО представить как композицию линейного автоморфизма вида gi w) = aw + Ь, который отображает Wi в W2, и автоморфизма g2, который сохраняет W2 неподвижной. Для метрики, определяемой уравнением (2 2), автоморфизм gi является изометрией из 1.2 и 1.8 следует, что g (w2) = 1, значит, и g2 является изометрией в точке W2- Таким образом, наша метрика инвариантна в произвольной точке относительно произвольного автоморфизма. [c.32] Предупреждение. Некоторые авторы называют метрикой Пуанкаре на В метрику dz l — z ), а dw l2v, соответственно, метрикой Пуанкаре на И. Эти модифицированные метрики имеют постоянную гауссову кривизну, равную —4. [c.32] Таким образом, существуют выделенные римановы метрики ds на В и на И. Или более общо, если S — произвольная гиперболическая поверхность, то ее универсальная накрывающая S конформно изоморфна В, и, следовательно, имеет выделенную метрику, инвариантную относительно всех конформных автоморфизмов S. В частности, эта метрика инвариантна относительно накрывающего преобразования. Отсюда следует, что существует одна и только одна риманова метрика на S такая, что проекция S S является локальной изометрией, изометрично отображающей каждое достаточное малое открытое подмножество в S на его образ в S. По определению, построенная таким образом метрика называется метрикой Пуанкаре на гиперболической поверхности S. [c.33] В односвязном случае существует в точности одна геодезическая, соединяющая две заданные точки. [c.34] Эти негиперболические метрики неотрицательной кривизны представляют определенный интерес. Однако в гиперболическом случае метрика Пуанкаре с постоянной кривизной —1 черезвычайно важна ввиду ее замечательного свойства никогда не возрастать при голоморфных перобразованиях. [c.35] Здесь равенство выполняется, если р достаточно близко к д, а строгое неравенство выполняется, например, и в случае р) = /( 7) при рфд. [c.36] В качестве примера, иллюстрирующего эту теорему, рассмотрим отображение /(г) = на диске В, которое, конечно же, не является накрытием или конформным автоморфизмом. Следовательно, оно уменьшает расстояния метрики Пуанкаре на В. С другой стороны, мы можем также рассматривать это отображение /, как отображение диска с выколотой точкой В 0 в себя. В этом случае / является двулистным накрытием, следовательно, в метрике Пуанкаре / является локальной изометрией на В 0 . Действительно, универсальное накрытие над В 0 может быть отождествлено с левой полуплоскостью, отображающейся на В 0 посредством экспоненциального отображения, (ср. 2.8.), и тогда f поднимается до автоморфизма Р гю 2ад этой полуплоскости, который, очевидным образом, сохраняет метрику Пуанкаре. [c.36] Задача 2-а. Собственно разрывные группы. Пусть 5 — односвязная риманова поверхность, а Г С 8) — дискретная подгруппа автоморфизмов. То есть предположим, что единичный элемент является изолированной точкой Г в группе Ли 8). [c.39] Покажите, что если всякий нетождественный элемент Г действует на 5 без неподвижных точек, то действие Г является собственно разрывным. Это означает, что для каждого компакта К С 8 только конечное множество элементов 7 Г удовлетворяет неравенству К П у(К) ф 0. [c.39] Вернуться к основной статье