Два уравнения и теоремы о комплексных корнях

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

Для доказательства этой важной теоремы поступим следующим образом. Предположим, что некоторый корень Я,-является комплексным, н решим линейные уравнения (5.10.22) при этом значении Я. В качестве qi получаются некоторые комплексные числа. Как известно, любое алгебраическое соотношение между комплексными числами остается справедливым при замене i на —i. Следовательно, мы можем выписать уравнения (5.10.22), заменив qi на q, а Я на V", где звездочкой обозначены комплексно-сопряженные величины. Умножим первую систему уравнений последовательно на q , . .., qn, а вторую—на q ,. .., 17,, и составим в каждом из этих случаев сумму уравнений. В левых частях уравнений мы получим в обоих случаях одинаковые суммы, а сравнение правых частей приведет к соотношению [c.182]

В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень (вообще говоря, комплексный), т. е. всякая матрица в области комплексных чисел имеет хотя бы одно собственное значение и собственный вектор. [c.96]

Это уравнение можно записать в форме А, (б) йбф (б) = О, где ф (б) содержит только четные степени б. Поскольку р1 — корень уравнения Ах (б) = О, где 1— — 1, соответствующин корень этого нового уравнения представим как -I- г, где г — малая величина, вещественная или комплексная, квадратом которой можио пренебречь. Находим на основании теоремы Тейлора [c.268]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...