Случай 1) характеристические корни Xj и действительны

Предположим, что один (первый) корень действительный, а два других, сопряженные комплексные. Для этого случая характеристическое уравнение записывается в таком виде [c.460]

Действительно, рассмотрим для наглядности случай п = 2. Характеристическое уравнение (14) будет уравнением четвертого порядка. Пусть pj (j = 1, 2, 3, 4) — его корни при = 0. Будем изображать их на комплексной плоскости р (рис. 177, а). Пусть при малых е один из корней, например pi, сошел с окружности и стал по модулю больше единицы. Из-за вещественности коэффициентов уравнения (14) комплексно сопряженный корень р с необходимостью сместился бы в точку, симметричную относительно вещественной оси. А так как число всех корней равно четырем и смещения корней р2, р2 при малых е малы, то у сместившегося корня pi не оказалось бы обратного по величине, что противоречит теореме Ляпунова-Пуанкаре. [c.552]

Рассматривая действительные корни характеристического уравнения (626) в качестве частного случая комплексных сопряженных корней, можно все корни уравнения расположить на комплексной плоскости (фиг. 278), в которой осью ординат является мнимая ось, а осью абсцисс — действительная. Каждому корню в этом случае соответствует на выбранной координатной плоскости вполне определенная точка, а сам корень может быть изображен в виде вектора, длина которого является модулем комплексного числа, а угол наклона (отсчитанный от положительного направления действительной оси) аргументом (или фазой). [c.487]

Случай комплексных корней. В этом случае корни характеристического уравнения могут быть комплексными или мнимыми. Если корень характеристического уравнения р — комплексное число, то устойчивость определяется знаком действительной части корня характеристического уравнения. [c.212]

Если ХОТЯ бы ОДИН корень характеристического уравнения (1.32) имеет действительную часть, равную нулю, а остальные корни имеют отрицательные действительные части, то имеем так называемый критический случай в этом случае устойчивость не может быть выяснена по первому приближению. В критическом случае требуется учитывать нелинейные члены Е/ в системе уравнений (1.31). [c.261]

В новых уравнениях вместо коэффициентов появятся, вообще говоря, другие коэффициенты щ, так как учет малого параметра может привести не только к появлению новых членов, но и к небольшим изменениям старых, причем, очевидно, при л О а а . Оба эти уравнения имеют по п- - корней. Из них п корней Х1, Х ,..., Х в силу малости коэффициента л близки по величине к п корням исходного характеристического уравнения и, в частности, имеют те же знаки действительных частей ). Следовательно, изменения, происшедшие с этими п корнями, не могут изменить устойчивости состояния равновесия. Это может сделать только новый корень Х . Чтобы решить вопрос о влиянии этого корня, рассмотрим оба случая отдельно. [c.734]

Ниже мы будем рассматривать только первый случай. Тогда характеристическое уравнение (10.18) для точек граничной поверхности у будет иметь один нулевой корень (остальные 5 — 1 корней имеют отрицательные действительные части), вследствие чего свободный член этого уравнения [c.754]

Легко видеть, что характеристическое уравнение системы (16) имеет один нулевой корень, т.е. имеет место критический случай устойчивости. Два других корня будут иметь отрицательные действительные части, если [c.61]

Случай кратных корней характеристического уравнения практически встречается редко и не требует применения особых методов иследования. Действительно, если среди корней характеристического уравнения встречается, например, корень кратности т, то т уравнений системы (Ь ) или (о) предыдущего параграфа будут алгебраическими следствиями остальных уравнений. При этом можно определить N — т неизвестных через остальные т, которые могут быть выбраны произвольно. Конечно, эти неизвестные следует выбирать так, чтобы удовлетворялись условия ортогональности. [c.252]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...