Функция для полуограниченных операторов

Остановимся здесь на-случае, когда условие резольвентной сравнимости (7.1) нарушается. Как и для полуограниченных операторов (см. 9), дальнейшее расширение условий справедливости формулы следа (2.1) может быть достигнуто с помощью предварительного построения ФСС для подходящих функций от операторов Яо и Я. В самом деле, пусть для заданной пары самосопряженных операторов Яо и Я при какой-либо вещественной функции <р операторы Ьо = < (Яо) и Ь = (р Н) корректно определены и имеет место включение [c.391]

Вернемся к рассматривавшейся в п. 1 8 задаче об уточнении теоремы 7.1 в терминах поведения функции Я г) — на бесконечности. В теореме 8.1 были изучены свойства ФСС. Покажем сейчас, что в полуограниченном случае, ставя условия при —> —оо, можно расширить запас допустимых функций /. Прежде всего приведем для т Е (—1,1) условия справедливости включения (1). Операторы Но и Н по-прежнему считаем положительно определенными. [c.382]

Проиллюстрируем теорему 5 на простых примерах. В применениях чаще всего рассматривается случай, когда операторы Яо и Я имеют общую регулярную точку, например А = 0. Тогда условию 2 удовлетворяет функция < (А), равная А (г натурально и нечетно) при всех А. При этом множество О состоит из двух интервалов Ох = (—оо, —е) и = ( ,оо) при каком-нибудь е > 0. Пусть выполнено включение (9.1), а ФСС (А) = (А Я,Яо) при всех А Е М определена равенством (9.3). Поскольку (// /г,/го) = О при достаточно больших /i , ФСС (А) = О в двусторонней окрестности точки нуль, так что дополнительного согласования значений (А) на Ах и 1 2 не требуется. Как и в полуограниченном случае, функция (А) удовлетворяет соотношению (8.3). Формула следа (2.1) верна, если / удовлетворяет условиям (9.5) и (8). В частности, годятся функции /(А) = (А - 2)", г е Ро Г) р, если целое 5 г. [c.397]

Кэли. Возможно и определение ФСС через другие функции от операторов, что позволяет отказываться от условия резольвентной сравнимости. В общей обстановке этот вопрос рассматривается в 11. Остановимся здесь на полуограниченном случае. За счет сдвига на постоянную операторы Но и Н можно считать положительно определенными. В этом случае естественное обобщение условия (7.1) дается соотношением [c.379]

Пример 2. Пусть Яо—положительный оператор с дискретным спектром и такой, что Яо Е 61. Тогда при Я = —Яо разность Я — Е 61, Х>(Я) = Х>(Яо) и Н Но. Функция спектрального сдвига (А) = (А Я,Яо) для этой задачи полностью определяется формулой (2.20). Считая (0) = О, найдем, что (А) О при всех А и (А) 4-оо при А оо. В то же время для отрицательного возмущения ФСС должна была бы быть полуограниченой сверху. [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...