Перекладывание топологическое

Заметим, что последнее следствие говорит о том, что наша система обладает свойством, настолько близким к топологической минимальности, насколько это возможно для перекладываний отрезков. И действительно, в этом случае символическая модель П, минимальна (см. упражнение 14.5.2). [c.477]

Назовем замыкания орбит, состоящих из конечного числа интервалов (отличной от ну ля длины), транзитивными компонентами перекладывания отрезка I. Внутренности различных транзитивных компонент попарно не пересекаются. Аналогично, назовем орбиту максимального жесткого интервала периодической компонентой. Таким образом, мы получаем, что все точки, за исключением, быть может, находящихся на соединяющих отрезках, должны принадлежать либо транзитивной, либо периодической компоненте. Из леммы 14.5.4 и предложения 14.5.9 следует, что граница каждой (транзитивной или периодической) компоненты состоит из полных соединяющих отрезков. Число соединяющих отрезков не превосходит 2п — 2. Каждый соединяющий отрезок может принадлежать границе не более чем двух компонент. Таким образом, общее число компонент не превышает Ап — 4. Кроме того, в ориентируемом случае каждый соединяющий отрезок может иметь две различных ориентации и граница каждой компоненты должна содержать по крайней мере один положительно ориентированный и один отрицательно ориентированный отрезок, что уменьшает возможное число компонент до 2п — 2. Итак, топологическая структура орбит перекладываний отрезков может быть выражена следующим образом. [c.477]

Заметим, что различные инвариантные меры перекладывания отрезков порождают сопряжения этого перекладывания с другими. Чтобы упростить обсуждение этого вопроса, допустим, что перекладывание отрезков топологически транзитивно, что является более слабым условием, чем отсутствие сепаратрис, соединяющих седла, но более сильным, чем типичность. В этом случае каждая неатомарная инвариантная мера положительна на открытых множествах и, следовательно, отображение, сопоставляющее отрезку [О, t ] его меру, является гомеоморфизмом, переводящим данное перекладывание отрезков в другое такое перекладывание, что образ данной инвариантной меры есть мера Лебега. Таким образом, если топологически транзитивное перекладывание отрезков обладает к эргодическими инвариантными мерами, то мы получаем к — 1)-симплекс топологически сопряженных перекладываний отрезков. [c.478]

Предложение 14.6.1. Любое преобразование/ = I о Н, определенное, как показано выше, которое сохраняет положительную на открытых интервалах меру, топологически сопряжено перекладыванию отрезков. [c.482]

В этой главе будет исследоваться класс динамических систем с непрерывным временем с очень маломерным поведением с точки зрения описания, данного в главе 10, а именно гладкие потоки на замкнутых компактных поверхностях. Мы также уделим некоторое внимание потокам на поверхностях с границей, например на замкнутом диске или цилиндре, и на открытых поверхностях, например на плоскости. Это, в частности, позволит нам обсудить ряд полулокальных проблем. Другой естественный объект, связанный с такими потоками, — отображение Пуанкаре, индуцированное на трансверсали к потоку. Если поток сохраняет неатомарную меру, положитель-щао на открытых множествах (например, площадь), то такие отображения Пуанкаре топологически сопряжены локально изометрическому отображению с конечным числом разрывов. Эти отображения наглядно описываются термином перекладывание отрезков . [c.454]

Результаты о топологической структуре преобразований перекладываний отрезков впервые появились в [154], хотя нх можно извлечь и нз более ранней работы Майера [186]. Кии также выдвинул гипотезу, что почти каждое неприводимое преобразование перекладывания отрезков является строго эргодическим. Вне элементарного уровня, на котором мы обсуждаем эту тоблему, имеется ряд фундаментальных результатов, прежде всего результаты Вича [319]- [322] и Мезера [197], которые доказывают строгую эргодичность большинства преобразований перекладывания отрезков и описывают их метрические свойства. В частности, с их помощью доказана гипотеза Кина. Главная идея состоит в рассмотрении подходящего пространства перекладываний отрезков и введении динамической системы на этом пространстве таким способом, чтобы свойства перекладывания отрезков переходили в асимптотические свойства его орбиты под действием этой динамической системы. При подходе Вича это осуществляется с помощью подходящей конструкции индуцирования. Лемма 14.5.7 представляет собой первый шаг в этом направлении. Важный вклад в анализ преобразования перекладывания отрезков, использующий более прямой комбинаторный подход, был сделан [c.732]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...