Свободный цикл без контакта

Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим, что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей. Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности через (у) и g), канонические кривые зтой правильной системы канонических окрестностей — через (С), (а) и через (I) — параболические дуги канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (Хс) — седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических секторов (см. 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. 19, п. 2) седловую дугу будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область g имеет одну граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории. Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области g , одновременно является и концом а-сепаратрисы, входящей в границу области g , а конец ы-седловой дуги — концом ы-сепаратрисы, входящей в границу этой области. [c.458]

Рассмотрим циклы без контакта С) и (а), т. е. циклы без контакта, входящие в границы канонических окрестностей предельных континуумов как не являющихся состоянием равновесия, так и являющихся состоянием равновесия (узлом). Те из этих циклов без контакта, которые не имеют ни одной общей точки с особыми полутраекториями, будем называть свободными циклами без контакта (С) и (а). Очевидно, каждый свободный цикл без контакта (С) и (о) входит в границу канонической окрестности (уг) или gi) свободного континуума, не являющегося состоянием равновесия или свободного узла. Свободный цикл без контакта С) или (а) будем называть со- или а-циклом в зависимости от того, входит ли он в границу канонической окрестности со- или а-предельного континуума (и, в частности, устойчивого или неустойчивого узла). Если граничная кривая (Г) является циклом без контакта и при этом ни одна ее точка [c.458]

Лемма 4. Траектории, пересекающие какую-нибудь ш а)-дугу, не могут пересекать свободный цикл без контакта. [c.461]

Очевидно, траектории, пересекающие сопряженные со- и а-дуги в точках, отличных от их концов, или сопряженные со- и а-циклы, принадлежат одной и той же ячейке. Таким образом, все элементарные дуги и все свободные циклы распадаются на пары сопряженных дуг и сопряженных свободных циклов. Заметим, что циклическая элементарная и нециклическая элементарная дуги могут быть сопряженными. Простой пример представлен на рис. 279. Из двух сопряженных свободных циклов без контакта один или даже оба могут быть граничными циклами без контакта. [c.463]

Затем рассматриваются части дуг и циклов без контакта, на которые они разделяются общими с особыми траекториями точками. Такие части названы элементарными о- и а-дугами. Циклы без контакта, которые не имеют общих точек с особыми траекториями, называются свободными о- и а-циклами. Элементарные со-, а-дуги и ю- и а-циклы играют весьма важную роль при построении топологического отображения, доказывающего основную теорему. [c.454]

Свободный граничный цикл без контакта будем называть ы- или -циклом в зависимости от того, является ли он ш- или а-граничным. [c.459]

Циклы без контакта (С) и (а), а также граничные циклы без контакта, не являющиеся свободными, будем называть несвободными циклами без контакта. Несвободный цикл имеет общие точки с особыми полутраекториями, а в случае, когда он является граничным,— с особыми полутраекториями или угловыми дугами. [c.459]

Следствие 1. Все траектории, пересекающие свободный о) (а)-цикл без контакта, пересекают один и только один свободный а (и)-цикл без контакта. [c.462]

V. Указаны все пары сопряженных свободных со-, а- и Q-предельных континуумов и граничных циклов без контакта и для каждой такой пары указано, какой из ее элементов является внешним и какой внутренни.ч. [c.482]

Справедливость второго утверждения теоремы в случае, когда континуумы А и являются свободными, непосредственно следует из теоремы 72. В случае, когда континуумы и являются несвободными сз- или а-предельными континуумами, всегда можно в силу условия 4) тождественности схем установить такое тонологическое соответствие между точками циклов без контакта С и С, при котором точкп пересечения с этими циклами полутраекторий ( ), ( ) и ( ), ( ), соответствующих друг другу по схеме, соответствуют друг другу. В силу замечания к теореме 72 существует топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у друг на друга, прп котором установленное соответствие между точками циклов С и С сохраняется. Таким образом, теорема доказана. [c.446]

Замечание. В случае свободных коптинуумоп Ю п А топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у всегда может быть взято таким, чтобы при этом осуществилось любое заданное соответствие между точками циклов без контакта С и С (сохраняющее согласованное с направлением но I направление обхода кривых С и С ). [c.447]

Доказательство. Предположим протинпое, т. е. что траектории, проходящие через точки ш-дуги без ко1ггакта пересекают свободный а-цикл без контакта С - Тогда траектории, проходящие через все точки Хщ, отличные от концов, будут пересекать цикл С и траектории, проходящие через все точки С , будут пересекать дугу в точках, отличных от концов зтой дуги (см.. чамечапие 2 к лемме 2). [c.461]

Докажем еще одну лемму, касающуюся соиряжешшх свободных Ы-, а-предельных континуумов и граничных циклов без контакта, а также О-предельных континуумов. Пусть — внешний со-, а- пли 0-нредель-пьп континуум и.чи же внешний граничный цикл без контакта. Очевпдно, может быть простой замкнутой кривой, например, в с.чучао, когда [c.466]

V. Таблицы, указывающей все пары сопряженных свободных си-, а-и О-предельных контину тиов, граничных циклов без контакта и свободных узлов, описывающей взаимное расположение каждой пары. [c.482]

Установив такое отображение а-циклов и а-дуг, определяем отображение соответствующих друг другу по схеме со-циклов С и С н со-дуг Ь и Ь как индуцированное отображением сопряженных с ним а-циклов или соответственно а-дуг. Таким образом, соответствующие друг другу точки оо-циклов Си и Са и отличные от концов точки 00-дуг Ь и Ь принадлежат траекториям, пересекающим сопряженные а-циклы или а-дуги в соответствующих друг другу точках. Соответствующие друг другу концы 00-дуг Ь и Ь являются сопряженными с соответств ющими друг другу концами а-дуг а и а. Установив отображение оо- и а-циклов и со-и а-дуг, мы тем самым устанавливаем отображение друг на друга всех соответствующих Друг другу по схеме циклов без контакта среди кривых С и (у), как свободных, так и несвободных (принадлежащих соответ- [c.496]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...