Формула для полуограниченных операторов

Остановимся здесь на-случае, когда условие резольвентной сравнимости (7.1) нарушается. Как и для полуограниченных операторов (см. 9), дальнейшее расширение условий справедливости формулы следа (2.1) может быть достигнуто с помощью предварительного построения ФСС для подходящих функций от операторов Яо и Я. В самом деле, пусть для заданной пары самосопряженных операторов Яо и Я при какой-либо вещественной функции <р операторы Ьо = < (Яо) и Ь = (р Н) корректно определены и имеет место включение [c.391]

Проиллюстрируем теорему 5 на простых примерах. В применениях чаще всего рассматривается случай, когда операторы Яо и Я имеют общую регулярную точку, например А = 0. Тогда условию 2 удовлетворяет функция < (А), равная А (г натурально и нечетно) при всех А. При этом множество О состоит из двух интервалов Ох = (—оо, —е) и = ( ,оо) при каком-нибудь е > 0. Пусть выполнено включение (9.1), а ФСС (А) = (А Я,Яо) при всех А Е М определена равенством (9.3). Поскольку (// /г,/го) = О при достаточно больших /i , ФСС (А) = О в двусторонней окрестности точки нуль, так что дополнительного согласования значений (А) на Ах и 1 2 не требуется. Как и в полуограниченном случае, функция (А) удовлетворяет соотношению (8.3). Формула следа (2.1) верна, если / удовлетворяет условиям (9.5) и (8). В частности, годятся функции /(А) = (А - 2)", г е Ро Г) р, если целое 5 г. [c.397]

При условии (1) многие свойства ФСС те же, что и в случае ядерных возмущений. Например, не меняется ее поведение на дискретном спектре. Именно, согласно определению (4) и результатам 5 при регулярных Л значения (Л) целочисленны, а при переходе через собственные значения операторов Яо и Я скачок ( находится по формуле (2.18). Поэтому справедлива и формула (2.19). Если операторы Но и Н полуограничены снизу, то при принятой нормировке (Л) = О для Л < infj To и сг сохраняется равенство (2.20). В полуограниченном случае формула следа (2.1) верна при единственном условии (8), где Л —> -foo.- [c.371]

Пример 2. Пусть Яо—положительный оператор с дискретным спектром и такой, что Яо Е 61. Тогда при Я = —Яо разность Я — Е 61, Х>(Я) = Х>(Яо) и Н Но. Функция спектрального сдвига (А) = (А Я,Яо) для этой задачи полностью определяется формулой (2.20). Считая (0) = О, найдем, что (А) О при всех А и (А) 4-оо при А оо. В то же время для отрицательного возмущения ФСС должна была бы быть полуограниченой сверху. [c.385]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...