Состояние с нулевой дисперсией

Мы отнюдь не намереваемся входить здесь в подробности спорного предмета теории измерений, хотя, как свидетельствуют работы последних лет, живой интерес к философским проблемам этой теории не угасал со времен основополагающих работ фон Неймана. Для наших целей достаточно (быть может, наивного) взгляда на состояние системы как на способ характеризовать тот метод, которым оно было приготовлено. Наблюдатель обнаруживает состояние лишь после того, как произведет для каждой наблюдаемой А последовательность (состоящую в принципе из бесконечного большого, а на практике — для обеспечения приемлемой степени надежности — из достаточно большого числа) независимых пробных измерений над системами, приготовленными одним и тем же способом. В результате измерений наблюдатель получает некоторое распределение действительных чисел. Их среднее он называет средним значением (ф Л) наблюдаемой Л в состоянии ф. Мы говорим, что состояние ф есть состояние с нулевой дисперсией для наблюдаемой А, если полученное в результате измерений распределение сосредоточено на одном числе, а именно на (ф Л). Пусть множество всех состояний с нулевой дисперсией для наблюдаемой Л, а а —множество всех значений, принимаемых наблюдаемой Л в состояниях с нулевой дисперсией. Назовем для краткости ад спектром наблюдаемой А и примем без доказательства, что эта величина действительно совпадает со спектром наблюдаемой в обычной формулировке квантовой механики. [c.57]

Понятие состояния с нулевой дисперсией тесно связано с понятием одновременной наблюдаемости. Прежде всего заметим, что две наблюдаемые Л и В допускают одновременное измерение со сколь угодно высокой точностью, если система находится в состоянии ф, принадлежащем подмножеству д <2 . Если же это подмножество множества пусто, то измерить наблюдаемые Л и В одновременно со сколь угодно высокой точностью невозможно. С противоположной ситуацией связано понятие совместности наблюдаемых, к определению которого мы подойдем следующим образом [c.57]

ПОЛНОГО относительно 93, недостаточно даже для обычного определения совместности. А чтобы ввести наше определение совместности, необходимо существенно расширить множество 93. Наше определение само в известном смысле показывает, как следует расширить множество 93 его необходимо расширить до множества 51з всех наблюдаемых, допускающих в качестве состояний с нулевой дисперсией по крайней мере состояния некоторого полного множества Z s п д. Пользуясь алге- [c.58]

Подчеркнем, что наблюдаемая А полностью определяется множеством своих состояний с нулевой дисперсией, спектром 0л и отображением Л [c.58]

Примечание. В множество ф(93) входит полный набор всех состояний с нулевой дисперсией для любой наблюдаемой из ф (23). Содержание теоремы 1 настолько ясно с интуитивной точки зрения, что иногда (см., например, работу Сигала [356]) его считают частью определения совместности множества 23 наблюдаемых. Наша формулировка незначительно отличается от формулировки Сигала, поскольку мы стремились прийти к степенной структуре на 91 естественным образом (вместо того чтобы с самого начала постулировать на 91 всю алгебраическую структуру) и понятие совместности казалось нам априори логически независимым от степенной структуры. Как показывает теорема 1, оба альтернативных определения совместности взаимосвязаны. [c.60]

Математический объект 91, определяемый аксиомами Сигала, мы будем в дальнейшем называть алгеброй Сигала. Проанализировав полученные нами до сих пор результаты, можно заметить, что изложенная выше теория (определяемая семью аксиомами о структуре) наделяет множество 91 всех наблюдаемых структурой алгебры Сигала. Отметим некоторые различия между системами аксиом Сигала и принятой нами. Прежде всего в нашем подходе особо подчеркивается та роль, которую мы хотим отвести состояниям в формулировке как алгебраической, так и топологической структуры теории. Однако необходимо ясно сознавать, что и в большей части проводимого Сигалом обоснования его системы аксиом в действительности неявно используется понятие состояния. Различие между нашими подходами заключается главным образом в том, что на более раннем этапе обоснования мы уделяли большее внимание понятию состояний с нулевой дисперсией. Это было необходимо для надлежащего обоснования степенной структуры на 91 (5-я аксиома) и, кроме того, позволило нам значительно раньше ввести понятие совместности наблюдаемых. Последнее понятие в свою очередь было использовано в нашей 6-й аксиоме, предопределяющей характер того обобщения классической механики, которое мы намереваемся рассматривать. Основное следствие из 6-й аксиомы состоит в том, что после ее введения симметризованное произведение А°В становится дистрибутивным (относительно сложения) и однородным (относительно умножения на скаляр). В работе Сигала также фигурирует формальное произведение , которое он определяет аналогично нашему симметризованному произведению и которое действительно совпадает с симметризованным произведением, когда алгебра 91 дистрибутивна. Однако Сигал не постулирует дистрибутивность в общем случае, и, более того, Шерману [366 удалось построить класс [c.76]

Теорема 11. Любой точке а спектра а а произвольной наблюдаемой А, принадлежащей алгебре 91, соответствует по крайней мере одно чистое состояние ф на 91, такое, что (ф А) =а н Ф — состояние с нулевой дисперсией на подалгебре Сигала (Л), порожденной Aul. [c.88]

Термин высказывание для этих элементов оправдывается тем, что в состояниях с нулевой дисперсией наблюдаемые, удовлетворяющие соотношению Р == Р, принимают значения О или 1 (которые мы можем также интерпретировать как нет или да , ложно или истинно и т. д.). В этом случае (ф Р) есть вероятность того, что Р принимает значение 1 (или при другой интерпретации, что событие Р произойдет), если система приготовлена в состоянии ф. [c.91]

Примечания. Прежде всего заметим, что в любой не полностью тривиальной теории из этой аксиомы следует существование по крайней мере одного элемента в каждом из множеств ад и д. Кроме того, 4-я аксиома наделяет множество некоторым свойством максимальности. Действительно, как нетрудно видеть, из этой аксиомы, в частности, следует, что для любой наблюдаемой А не существует наблюдаемой В ф А, для которой дЭ д и А д = В 1 д. Таким образом, две наблюдаемые, обладающие нулевой дисперсией в одних и тех же состояниях и совпадающие в этих состояниях, с необходимостью оказываются тождественными. Именно это обстоятельство и служит интуитивной мотивировкой 4-й аксиомы. Наконец, заметим, что 4-я аксиома требует включения д+х/ — л Для всех А., х из К. Следовательно, д действительно является детерминистским подпространством для подпространства в 91, порожденного Ли/. [c.59]

Доказательство. Принадлежность точки сг спектру Од (0S0 ) означает, что существует некоторое состояние i]) е <5 , для которого (i]) A) — а. Для всех непрерывных функций g одной действительной переменной выполняется соотношение ( Ф ё )) = ё (о), откуда ( ф g (Af) = ylp g (А)у. Следовательно, состояние т ) имеет на (Л) нулевую дисперсию. Поскольку алгебра (Л) ассоциативна, она изоморфна некоторой алгебре ё (Г) (теорема 9). Таким образом, сужение i ) на (Л) соответствует некоторой точке Y Г и ор — чистое состояние на Р(Л). Из предыдущей леммы мы заключаем, что существует состояние ф, чистое на 91, совпадающее с i]) на (Л) и, следовательно, удовлетворяющее всем условиям теоремы. В [c.88]

В то же время флуктуации вакуума , а точнее дисперсия напряженности поля в состоянии с минимальной энергией (см. следующий параграф), является реально наблюдаемой величиной, ответственной, например, за параметрическое рассеяние света. В следующем параграфе будет показано, что в состоянии вакуума отличны от нуля лишь антинормально — упорядоченные моменты <аа+> = 1. Отсюда с помощью (14) находим квадрат поля, при- ходящегося на одну моду П)У = с . Таким образом, коэффициенты С 1 имеют смысл амплитуд нулевых флуктуаций электрического или магнитного поля одной моды. [c.88]

Установим прежде всего некоторые простейшие свойства тех элементов Р алгебры 21, которые удовлетворяют соотношению Р = Р. Это позволит нам прочувствовать смысл вводимой терминологии. Ничнем с одного замечания. Из нашей 5-й аксиомы о структуре следует, что для каждого состояния ф, имеющего нулевую дисперсию на Р, справедливы соотношения [c.91]

Ю. А Солдатенко и Э. К. Дрегуляс на основании обработки опытных данных и сравнения экстраполированных на нулевое давление значений да с соответствующими величинами для иде-ально-газового состояния пришли к выводу об отсутствии дисперсии при давлении, превышающем 0,4 МПа. [c.31]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...