Существование эквивалентного унитарного представления

Существование эквивалентного унитарного представления [c.28]

Существование эквивалентного унитарного представления 29 Покажем, что (3.30) можно представить в виде [c.29]

Связь сплетающих операторов с вопросами приводимости, эквивалентности и унитарности представлений. Одной из наиболее кардинальных проблем теории представлений полупростых групп Ли является описание всех неприводимых унитарных представлений. В случае вещественных форм данная задача особенно сложна ввиду характерных особенностей их представлений (отсутствующих для комплексных групп). Причина этого заключается, в частности, в существовании нескольких типов основных серий унитарных представлений, что находится в тес- [c.94]

И ф — чистое состояние], либо (Я) Я/ [тогда, поскольку все операторы проектирования в л (Э ) эквивалентны тождественному оператору, я ,(Эг) есть фактор типа III и (Я) обладает тем же свойством]. Мы хотели бы научиться различать эти два случая, основываясь лишь на свойствах состояния ф. Рассмотрим для этого более обстоятельно первый случай. Условимся называть состояние примарным, если примарно представление ГНС Лф, которое оно порождает. Примарное состояние ф называется максимальным, если всякое примарное состояние ф е , такое, что фс ф, эквивалентно состоянию ф). Нетрудно видеть [206], что состояние ф, для которого dim<3 q,> 1, чисто в том и только в том случае, если оно примарно и не максимально. Следовательно, приняв требование о том, чтобы состояние ф было одновременно минимальным и максимальным (а также тривиальное требование неравенства dim

l), мы остаемся лишь с примарными представлениями типа III. Наоборот, если л , —примарное представление типа III, то состояние ф должно быть минимальным и максимальным. Итак, мы выяснили, какими свойствами должны обладать состояния, порождаюшие примарные представления типа III. Исключая их, мы можем также охарактеризовать все случаи, в которых представление Лф примарно и принадлежит типу II. Во-первых, состояние ф не может быть минимальным, ибо тогда оно принадлежало бы типу I или III. Предположим далее, что существует минимальное состояние ф, связанное с состоянием ф соотношением фс<ф. В этом случае представление л принадлежало бы типу I или III и было бы унитарно эквивалентно подпредставлению представления л , что невозможно, ибо по предположению Лф принадлежит типу II. Наоборот, если состояние ф обладает тем свойством, что из соотношения ф ф следует неминимальность состояния ф, то мы сначала исключаем минимальность самого состояния ф, а затем примарность представления Лф и его принадлежность типу III. Во-вторых, мы исключаем возможность существования чистого (и, следовательно, минимального) состояния ф, такого, что фс<ф и представление Лф примарно и принадлежит типу I. Таким образом, приведенное выше условие действительно характеризует представление типа II, если заранее предполагается, что представление Лф примарно. Все сказанное можно сформулировать в виде следующей теоремы [c.181]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...