Минимальные геодезические на компактных поверхностях

Минимальные геодезические на компактных поверхностях [c.382]

МИНИМАЛЬНЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА КОМПАКТНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ 383 [c.383]

И ДЛЯ поверхностей высшего рода. Для тора нижняя граница задается скоростью роста для плоской метрики, для которой классы минимальных геодезических находятся во взаимно однозначном соответствии с ненулевыми элементами целочисленной решетки Z , и потому скорость роста является квадратичной функцией длины (с множителем, зависящим от выбора плоской метрики). Произвольная метрика может рассматриваться как проекция периодической метрики на В силу компактности тора эта метрика ограничена и сверху, и снизу произведением евклидовой метрики на некоторые множители, так что индуцированное расстояние равномерно эквивалентно расстоянию, индуцируемому евклидовой метрикой (т. е. отношение расстояний заключено между парой положительных чисел). Поскольку длина кратчайшей замкнутой геодезической в гомотопическом классе, соответствующем к Z , равна min d p,p + f ), для любой метрики скорость роста [c.384]

Для поверхностей высшего рода роль плоской метрики, как метрики для сравнения в случае тора, играет метрика постоянной отрицательной кривизны. Такие метрики рассматривались в 5.4. Позднее мы покажем, что для любой такой метрики число замкнутых геодезических (которые в этом случае минимальны) растет экспоненциально с очень точной асимптотикой (см. теорему 18.5.7 и теорему 20.6.9 [ ]). Универсальное накрытие может рассматриваться как диск Пуанкаре преобразования накрытия суть дроб -линейные преобразования. Метрика на М поднимается до метрики на М, инвариантной относительно преобразований накрытия. Поскольку многообразие М компактно, такая метрика определяется своим ограничением на компактную фундаментальную область. Так как преобразования накрытия сохраняют и метрику Пуанкаре, и данную метрику, они равномерно эквивалентны, так что отношение индуцированных расстояний ограничено константами С и 1/С. Это означает, что количество N(T) минимальных геодезических, длина которых не превосходит Т, удовлетворяет неравенству N T) Ng T/ ), где % — соответствующее число для метрики постоянной кривизны. Поэтому JV(T) ограничено снизу некоторой экспонентой. [c.384]

Пусть М — компактная неориентируемая поверхность и П — свободный гомотопический класс. Покажите, что кратчайшая замкнутая геодезическая в П глобально минимальна. [c.384]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...