ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Устойчивость решений уравнении Хилла к Матьо из "Введение в теорию устойчивости движения " Теорема Барбашпна — Красовского сформулирована в 2.3 для автономных систем. При функции V (.r), не зависящей явно от времени t и удовлетворяющей условию (2.16), эта теорема остается справедливой и в том случае, когда производная 1 , завися явно от времени, является определенно-отрицательной функцией в смысле Ляпунова. [c.231] Для случая, когда функции а и Р зависят только от времени t, условия (7.44) были получены другим методом В. М. Старжин-ским [47]. Приведенный здесь вывод опубликован в работе [39]. [c.231] Для получения критериев устойчивости таких систем кратко остановимся на некоторых общих вопросах теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, принадлежащей Флoкe(Floquet). [c.232] Это равенство показывает, что если все р С 1, то через период Т модули всех составляющих вектора X (f + Г) уменьшатся и, следовательно, изображающая точка М приблизится к началу координат если модуль хотя бы одного корня ртс больше единицы, то через период Т соответствующая составляющая i-Xf,- (Г + Т) вектора ж (i + Г) увеличится по модулю и изображающая точка М начнет отдаляться от начала координат наконец, если среди корней характеристического уравнения имеются такие, модули которых равны единице, то модули соответствующих составляющих вектора х t Т) останутся без изменения. [c.237] Из этого вытекают следующие условия устойчивости системы, возмущенное движение которой описывается линейными дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. [c.237] Если модули всех корней характеристического уравнения (7.64) меньше единицы, то невозмущенное движение Xi =. . . = Хп = Q асимптотически устойчиво. [c.237] Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один, модуль которого больше единицы, то невозмущенное движение неустойчиво. [c.237] Если среди корней характеристического уравнения иж-ются такие, модули которых равны единице, а модули остальных корней. меньше единицы, то невозмущенное движете устойчиво, хотя и не асимптотически. [c.237] Заметим, что первые два вывода справедливы и при кратных корнях характеристического уравнения, а последний только при простых корнях (точнее, при корнях простых относительно элементарных делителей). [c.237] Таким образом, свободный член характеристического уравнения (7.71) может быть найден по коэффициентам исходных уравнений (7.45). К сожалению, для определения остальных коэффициентов уравнения (7.71) необходимо знать хотя бы одну фундаментальную матрицу X (t) (легко доказывается, что уравнение (7.71) не зависит от выбора фундаментальной матрицы). Задача облегчается тем, что критерии устойчивости носят характер неравенств, поэтому можно пользоваться численными и приближенными методами. [c.238] Отметим, что в этом методе заключение об устойчивости движения на бесконечном промежутке времени делается на основании результатов интегрирования на конечном интервале времени [О, Г]. [c.238] Со вторым приближенным методом (их существует значительно больше) мы познакомимся в следующем параграфе, а сейчас остановимся на случае, когда среди корней характеристического уравнения имеются корни, равные +1 или —1. [c.239] Предпололшм, что р = +1. Тогда соответствующее нормальное решение будет удовлетворять равенству (см. формулу (7.62)) X t + Т) = ж (t). [c.239] Это означает, что уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период которого Т совпадает с периодом коэффициентов. [c.239] Из этого следует, что при наличии корня р = —1 уравнение (7.45) имеет периодическое решение, период которого 2 Г вдвое больше периода Т коэффициентов исходного уравнения. [c.239] Ляпунов показал [35], что всякую систему ли- нейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами можно привести при помощи линейной подстановки к системе уравнений с постоянными коэффициентами. Подробное исследование систем, которые могут быть приведены к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами, содержится в работе Н. П. Еру-гина [19]. [c.239] Уравнение, записанное в такой форме, впервые рассматривалось Г. В. Хиллом (G. W. Hill) при исследовании движения Луны. [c.240] Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение д = О, j = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и б О, движение устойчиво, а при е = О и б О это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения а = О, т = 0. [c.240] Коэффициент а нам неизвестен л для его. определения необходимо знать фундаментальную матрицу решений. [c.240] Так как найти эту матрицу в замкнутой форме мы не можем, то для определения области устойчивости в плоскости параметров б и е воспользуемся следующими соображениями. [c.241] Вернуться к основной статье