Уравнение Хилла

Области параметрического резонанса для уравнения Хилла центрально симметричны относительно начала координат плоскости ( , т]). Они получаются после исключения из единичного квадрата полосы, заключенной между наклонными прямыми. Левый верхний и правый нижний углы квадрата принадлежат резонансной области при любых отличных друг от друга положительных значениях шь Ш2- [c.247]

В уравнении Хилла при скачкообразном изменении функции ш координата и скорость оставались непрерывными. В рассматриваемом примере координата в момент переключения будет непрерывной, а скорость ф изменится скачком вместе с изменением длины маятника. Чтобы определить это изменение, воспользуемся уравнением кинетического момента относительно точки подвеса маятника [c.252]

В примере 3.10.2 для уравнения Хилла с двухступенчатым кусочно-постоянным коэффициентом ш t) в случае = —1, 77 = 1 найти собственные векторы матрицы монодромии, резонансные соотношения интервалов <1, <21 точки на фазовой п.лос-кости, где происходят переключения функции (<). [c.301]

Для наших целей уравнение Хилла удобно записать в следующей форме [c.240]

Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение д = О, j = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и б > О, движение устойчиво, а при е = О и б < О это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения а = О, т = 0. [c.240]

Установим прежде всего некоторые общие свойства решений уравнения Хилла. Положим [c.240]

H i случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические peujeHHH периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла. [c.242]

Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме [c.242]

Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76), отвечающего значениям параметров е и б из области устойчииости. 1 ак было установлено, в этой области оба корпя pi и ()а уравнения (7.78) — комплексно-сопряженные числа, причем Pi I = I Рг I == 1-На основании определения логарифма комплексного числа будем иметь (р = р) [c.243]

В общем решении (7.80) или (7.87), отвечающем области устойчивости, постоянные вещественные числа А и fi определ [ются из начальных условий движения, а у (t) и V (t) или ( ) и г t) — вещественные периодические функции, период Г которых равен периоду возбуждающей функции 1 ) (t). Как правило, функции 7 (<) и v (t) (тем самым и функции я ( )иг1 ( )), а также число к = arg р определить в замкнутой форме мы не монгем, так что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения Хилла, а не само решение. Однако из )thv равенств мы можем составить общее представление [c.244]

Полученное линейное уравнение с периодическим коэффициентом приводится к неоднородному уравнению Хилла. Если сила F изменяется по гармоническому закону [c.254]

Наиболее важным приложением является случай, когда в точке А находится Солнце, в точке В — Земля, а планетоидом является Луна. При этом можно считать, что орбита Земли при ее движении вокруг Солнца достаточно близка к круговой и что масса Луны пренебрежимо мала. Уравнения (28.8.8) являются уравнениями Хилла они чрезвычайно ван пы для исследования движения Луны. Ввиду недостатка места мы не можем дать здесь подробного изложения основных результатов. Отметим толь ко, что основная цель астронома заключается в отыскании периодических двин ений. Периодическое движение с периодом а можно представить в форме рядов [c.572]

Основной проблемой анализа динамической устойчивости является построение границ ЗОИ устойчивости и неустойчивости. Если /ДО и /г(0 являются линейно независимыми решениями уравнения Хилла, то при помощи этих решений можно построить и другие комбинации линейно независимых решений путем линейного преобразования [c.461]

Область вещественных собственных чисел совпадает с областью не ограниченно возрастающих решений уравнения Хилла (область неустойчи вости решения, а следовательно, и неустойчивости механической системы) а область комплексных собственных чисел — с областью ограниченных (поч ти-периодических) решений (область устойчивости решения, а следовательно, и устойчивости механической системы). На границах областей, ограниченно и неограниченно возрастающих решений [c.462]

Уравнение (6.3) при периодической функции Sq (О носит название уравнения Хилла, а в случае, если (/) имеет моно-гармонический вид, — уравнения Матьё. [c.248]

Возвращаясь к системе (2.31), видим, что она имеет решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Поделив каждое уравнение на соответствующий коэффициент [a — 2r — i if, можно составить так называемое уравнение Хилла, представляющее собой бесконечный определитель относительно (/fi) [c.63]

Подставив в уравнение (4.39) выражение q x), составленное согласно равенствам (4.40) и (4.41), получим уравнение Хилла в форме [c.144]

Уравнения (4.35) и (4.37) с помощью указанного выше преобразования сводятся к каноническому виду неоднородного уравнения Хилла, однако более подробным анализом случаев, приводящих к этому уравнению, мы заниматься не будем. [c.145]

Следует отметить, что анализ уравнений вида (4.42), представляющих собой неоднородное уравнение Хилла, связан с большими математическими трудностями и громоздкими выкладками. Чтобы оценить эти трудности, достаточно учесть, например, что при исследовании вопроса об утойчивости решения при наличии в уравнении движения трех параметров (вместо двух а w. q, содержащихся в уравнении Матье) придется строить, если пользоваться геометрическими представлениями, не плоскую, а объемную картину ). [c.148]

Автору известна только одна работа [98], в которой сделана попытка рассмотрения такой задачи применительно к однородному уравнению Хилла. [c.148]

Как известно, задачи динамической устойчивости систем сводятся к решению уравнений Хилла или Матье. Эти уравнения занимают особое место в математическом анализе. Однако точных методов решения уравнений типа Хилла или Матье в настоящий момент не существует. Нет и точных методов исследования переходных процессов в параметрических системах. Поэтому при решении различных задач пользуются всевозможными приближенными приемами, которые с той или иной степенью точности позволяют определить зоны неустойчивости системы, а для нелинейных задач оценить величины амплитуд колебаний. [c.198]

НИИ (8). Уравнение (10) известно как уравнение Хилла [20]. Применяя метод возмущений [50], решение уравнения (9) можно представить в следующем виде-. [c.11]

Из уравнения (10) видно, что при 2и>в к возникают биения. Области устойчивости и неустойчивости для уравнения (10) находятся как области устойчивости уравнения Хилла [20]. На границах областей устойчивости и неустойчивости возникают биения, которые состоят из гармонических колебаний, обусловленных движением шариков, и гармонических колебаний, обусловленных наклоном внешнего и внутреннего колец. Один период биений равен времени двух оборотов сепаратора с увеличением числа шариков область неустойчивости гармонических колебаний сужается. Гармонические осевые колебания, обусловленные наклоном кольца, оказываются всегда устойчивыми, но при 2сов = [возникает резонанс, что проверено экспериментально. [c.11]

Г. В. Бондаренко Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний. М., Изд-во АН СССР, 1936. [c.18]

Параметрический резонанс. Под действием периодического продольного возмущения меняются высота пружины и ее эквивалентные жесткостные и массовые характеристики. Параметрические поперечные колебания в случае простого продольного гармонического возмущения, действующего со стороны подвижного конца (рис. 4) пли массы (консольная пружина) и характеризуемого параметром т = = / Q + / 1 os (Оц/, описываются уравнением Хилла [c.192]

Для упрощенного анализа система (53) приводится к одному уравнению Хилла или Матье [c.51]

Анализ уравнений и эксперименты показывают [25], что сила N увеличивает или уменьшает частоту свободных колебаний в зависимости от значений Hq/D и т. Следовательно, одна и та же пружина может иметь амплитудно-частотные характеристики, соответствующие жесткой и мягкой нелинейным системам соударение витков в процессе продольных колебаний предшествует развитию больших перемещений (5 0,2 Н), поэтому нелинейные срывы амплитуд не успевают развиться при достаточном отдалении от ш,,. Одно из колебаний под действием другого делается параметрическим и описывается уравнением Хилла. [c.53]

Смотреть страницы где упоминается термин Уравнение Хилла : [c.245] [c.246] [c.247] [c.248] [c.239] [c.244] [c.245] [c.245] [c.245] [c.246] [c.249] [c.257] [c.259] [c.133] [c.461] [c.25] [c.123] [c.117] [c.198] [c.169] [c.47] [c.17]

Основы теоретической механики (2000) -- [ c.245 ]

Теория механизмов и машин (1979) -- [ c.254 ]

Прикладная механика твердого деформируемого тела Том 3 (1981) -- [ c.461 ]

Механизмы с упругими связями Динамика и устойчивость (1964) -- [ c.25 ]

Математические методы классической механики (0) -- [ c.103 ]

Справочное руководство по небесной механике и астродинамике Изд.2 (1976) -- [ c.766 ]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.86 ]

Введение в теорию колебаний и волн (1999) -- [ c.218 ]

Элементы теории колебаний (2001) -- [ c.299 ]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...