ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Лагранжа — Дирихле. Теоремы Ляпунова из "Теоретическая механика Часть 2 " Остановимся прежде всего на точном определении того, что мы понимаем под устойчивостью равновесия. [c.367] Равновесное положение системы мы называем устойчивым, если во все время следующего за нарушением равновесия движения каждая точка системы движется, оставаясь в непосредственной близости к своему Черт. 209. равновесному положению в противном случае равновесное положение системы называется неустойчивым. Как видно, мы судим об устойчивости илин неустойчивости равновесия по характеру движения, совершаемого системой после нарушения равновесия. [c.367] Предположим теперь, что силы, под действием которых находится наша система, имеют потенциал и что все связи системы склерономные такая система называется консервативной. Мы уже видели в 125, что положениями равновесия консервативной системы являются те ее положения, в которых потенциальная энергия системы достигает экстремума. Теперь мы покажем, что равновесные положения консервативной системы, в которых потенциальная энергия системы достигает минимума, устойчивы. [c.368] Эта теорема была дана Лагранжем 1), доказательство которого, однако, не вполне совершенно исчерпывающее доказательство теоремы принадлежит Дирихле ). [c.368] Дадим теперь точкам нашей системы незначительные начальные отклонения от их равновесных положений А , Лз,. . ., Л и сообщим им незначительные начальные скорости. [c.368] Если взятые нами начальные отклонения точек системы меньше величины р, то в начальный момент каждая точка будет находиться внутри сферы, окружающей ее равновесное положение. [c.368] Как видно, такого момента быть не может. Зиачит, во все время движения точки системы будут оставаться внутри соответствующих сфер, окружающих их равновесные положения, причем радиус р этих сфер может быть взят сколь угодно малым. [c.369] Устойчивость равновесного положения системы этим доказана. [c.369] Интересно отметить, что если мы изменим конструкцию прибора так, чтобы было 6 а (черт. 210), то сделанные нами заключения об устойчивости равновесия в случаях Ьс— а — Ьу О и Ьс — (а— )2 О останутся в силе в промежуточном же случае Ьс (а — Ьу потенциальная энергия будет иметь при ср = 0, как это видно из формулы (1), уже не максимум, а минимум. [c.371] Следовательно, по теореме Лагранжа — Дирихле, равновесие в промежуточном случае будет при такой конструкции прибора устойчивым. [c.371] Вернуться к основной статье