Вещественные формы комплексных простых алгебр Ли

Этим мы завершаем краткий набросок основных этапов описания вещественных форм конечномерных комплексных простых алгебр Ли и в заключение приводим в виде табл. IV их полный список для классических серий, указав матричную реализацию, некоторые основные характеристики (в том числе, для сравнения, и для комплексных алгебр Ли). [c.36]

Алгебру функций Й определим как такую совокупность функций над полем Р, которая вместе с каждой функцией содержит ее произведение на любое число а 6 Р и вместе с каждыми двумя функциями содержит их сумму и произведение. Эта алгебра коммутативна, ассоциативна и обладает единицей. Функции Й могут быть вещественными или комплекснозначными, аналитическими, гладкими (т. е. бесконечно дифференцируемыми) или просто принадлежать классу С, Л < - -<х). Открытое множество С вместе с дифференцируемой структурой Й (С) называется дифференцируемым многообразием. В том случае, когда алгебра Й (С) образована всевозможными аналитическими (вещественными или комплексными) функциями, многообразие 0 (С) называется аналитическим (вещественным или комплексным). Чтобы подчеркнуть, над каким полем рассматривается многообразие, будем писать ДЬ (К, С) для комплексного случая и Й (В, С) — для вещественного. Эти формы записи можно объединить в единую форму Й (Р, С). Всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, будем рассматривать аналитические многообразия. [c.12]

Вещественные формы комплексных простых алгебр Ли. Классификация конечномерных вещественных простых алгебр Ли может быть получена с помощью понятия инволютивного автоморфизма сг, т. е. автоморфизма алгебры, удовлетворяющего условиям a = l, а+= а. (Здесь — символ эрмитова сопряжения.) При этом вещественные формы комплексных простых алгебр Ли выделяются требованием [c.35]

Каждая комплексная простая Л. а. имеет неск, вещественных форм (т. е. таких вещественных Л. а., из к-рых данная Л. а. получается комплексификацией). Лишь одна из них соответствует компактной группе Ли. Остальные приводят к некомпактным группам. Напр., среди вещественных форм комплексной алгебры Ai есть такие, к-рые соответствуют группам SU p, д), p+q l+1, псевдоунитар-н ы X матриц, т. е. преобразований в комплексном (/+1)-мерном пространстве, сохраняющих форму [c.584]

Кроме перечисленных, имеются нек-рые специальные вещественные формы комплексных а.чгебр и Dg, Приведённый список не полой с точки зрения классификации простых групп. Не каждая простая вещественная группа Ли является вещественной формой простой комплексной группы. Так, алгебра Z), не проста, и не проста соответствующая ей компактная подгруппа SO (4). Однако некомпактная группа SO (1, 3) (Лоренца группа) является простой. Её Л. а. изоморфна si (2, С). Обобщением этого примера является целый класс простых вещественных Л. а,— уто комплексные Л. а., рассматриваемые как вещественные. [c.584]

В свою очередь, классификация всех полуиростых алгебр Ли сводится к классификации простых алгебр Ли, так как согласно теореме Картана любая полупростая алгебра Ли единственным образом представима в виде прямой суммы попарно ортогональных простых подалгебр. Для простых алгебр Ли удается полностью решить систему уравнений Якоби (1.4) для структурных постоянных на соответствующем классе тензоров и тем самым описать все эти алгебры. В конце прошлого века Киллингом и Картаном были классифицированы комплексные простые алгебры Ли, и менее чем через четверть века после этого Картан установил все их вещественные формы. Знания последних достаточно для перечисления всех вещественных простых алгебр Ли ввиду возможности редукции вещественного случая к комплексному путем комплексного продолжения. [c.21]

Вложения З -подалгебры в алгебры Ли. Задача классификации всех неэквивалентных полупростых подалгебр конечномерных простых алгебр Ли полностью решена в работах [28], где, в частности, перечислены все типы трехмерных (3 )-подалгебр А комплексных простых алгебр Ли . (Рассмотрение вещественных форм сводится к комплексному случаю путем аналитического продолжения и потому принципиальных вопросов не вызывает.) При этом согласно теореме Гантмахера [16], для любого вложения в картановскую подалгебру из [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...