Возможный характер отдельной траектории. Теория

Первым вопросом, естественно возникающим при качественном рассмотрении динамических систем, является вопрос о том, какие типы фазовых траекторий вообще возможны в динамических системах второго порядка. Траектории, встречавшиеся в рассмотренных ранее примерах (см. гл. П, III и V), являлись либо состояниями равновесия, либо замкнутыми траекториями, либо, наконец, траекториями, стремящимися к состояниям равновесия или к замкнутым траекториям при. - -оо (или при — оо). Исчерпываются ли этим возможные типы фазовых траекторий, и если нет, то нельзя ли установить, каковы вообще все возможные типы отдельных траекторий Оказывается, что на основании двух общих теорем теоремы Коши о существовании и единственности решения системы дифференциальных уравнений и теоремы о непрерывной зависимости этого решения от начальных условий (см. Дополнение 1) — можно получить исчерпывающие сведения относительно возможного характера отдельной траектории [137, 81]. Рассмотрению этого вопроса будет посвящен следующий параграф. [c.396]

Надо, однако, отметить, что тенденция, направленная к ограничению роли статистических методов ценою введения более или менее далеко идущих гипотез о законах взаимодействия частиц и вытекающих из этих гипотез чисто механических рассмотрений, отнюдь не является историческим пережитком она находит себе полное выражение и во многих современных исследованиях согласно исторически сложившейся терминологии исследования этого рода относят обычно к кинетической теории материи, в отличие от статистической механики, стремящейся, напротив, свести всякие гипотезы подобного рода к возможному минимуму за счет максимального использования статистических методов. Каждое из этих двух направлений имеет свои преимущества. Построения кинетической теории, например, совершенно необходимы, когда речь идет о проблемах, связанных с движением отдельных частиц (число соударений, длина свободного пробега, характер траекторий и т. п.). В вопросах, связанных с изучением систем того или другого специального вида (например, одноатомного идеального газа), методы кинетической теории также часто заслуживают предпочтения, давая одновременно более простую в математическом отношении и более детальную трактовку происходящих явлений. Но там, где речь идет о теоретическом обосновании закономерностей общего типа, имеющих силу для самых разнородных систем, кинетическая теория, естественно, подчас оказывается бессильной и должна уступить место теориям, не делающим относительно природы частиц никаких или почти никаких специальных предположений. В частности, именно необходимость статистического обоснования общих предложений термодинамики породила в свое время тенденции, нашедшие свое выражение в построении статистической механики поневоле пришлось отказаться от специальных гипотез о природе частиц, ибо речь шла о статистическом обосновании именно таких законов, которые должны иметь место, какова бы ни была (в весьма широких границах) специфика этих частиц. [c.6]

Качественная теория динамических систем, основы которой излагаются в настоящей книге, занимается изучением такого разбиения на траектории. Существенной частью этого изучения является установление возможного характера отдельной траектории. Мы укажем здесь некоторые основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном типе траекторий, именно, на состояниях равновесия. Как мы видсли, [c.28]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...