Решения простейших задач с помощью теории размерностей

Решения простейших задач с помощью теории размерностей [c.161]

С помощью соображений теории размерности в процитированной выше работе мы показали, что поставленная задача о сильном взрыве представляет собой весьма интересный пример, когда решение задачи не только сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, но и удаётся получить совершенно точно требуемое решение в виде простых конечных формул. Опираясь на соображения теории размерности, мы устанавливаем наличие алгебраического интеграла уравнения (7.9), соответствующего именно искомому решению. Замечательно, что другие решения, соответствующие близким интегральным кривым уравнения (7.9), не могут быть представлены в подобном элементарном виде. [c.203]

Метод подобия и соображения теории размерностей могут служить не только для предсказания структуры безразмерных постоянных величин — чисел и критериев подобия, при помощи которых строятся закономерности, устанавливаемые после полного решения задачи, но и для упрощения самого решения. Так, например, из анализа размерностей можно, не решая уравнений, заметить, будет ли ъ р чи автомодельной или нет, а это позволяет заранее уменьшить число независимых переменных в уравнениях в частных производных, сводя их в случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Такие примеры приводились в предыдущих главах. В других случаях те же простые соображения позволяют до интегрирования уравнения сделать полезные выводы по поводу общего вида ожидаемого решения и структуры тех независимых и зависимых переменных, в которых решение будет выражаться. [c.375]

Как мы увидим дальше, наличие автомодельности для искомого решения можно установить непосредственно, исходя из постановки задачи, с помощью соображений теории размерностей. Для этого не требуется даже выписывать уравнения движения и граничные условия достаточно знать только параметры и характеристики, входящие в эти уравнения и условия. Имея в виду эти соображения, в некоторых случаях можно заранее схематизировать явление и поставить задачу таким образом, чтобы описанные упрощения можно было применить и, в частности, чтобы искомое решение было автомодельным. Автомодельность — весьма ценное свойство решения, так как с точки зрения теории сведение уравнений с частными производными к обыкновенным уравнениям — это уже большое достижение, позволяющее получить численное решение задачи более простыми методами. [c.346]

С помощью выделения составляющих X игр из известного точного или приближенного аналитического решения исходной системы уравнений (1) и вычисления интеграла (8). Найденные выражения для W в этом наиболее простом случае могут быть полезны, во-первых, для использования при приближенном решении более сложных задач, чем исходная, и, во-вторых, для лучшей интерпретации полученных результатов. Можно также решать систему уравнений (4)—(5) или непосредственно исходную систему (() на ЭВМ, затем вычислять интеграл (8) и аппроксимировать с учетом теории подобия и размерностей соответствующую функцию U7 (X, X, t) подходящим аналитическим выражением (последнюю операцию часто удобно выполнять также с применением ЭВМ). [c.243]

В случае двумерного течения, перпендикулярного оси кругового цилиндра, не существует решения уравнений Стокса, обращающегося в нуль на поверхности цилиндра и остающегося конечным вдали от него. Эта двумерная задача сильно отличается от трехмерной задачи об обтекании сферы. Указанное обстоятельство иногда называют парадоксом Стокса. Тот факт, что этот парадокс должен возникать в двумерном случае, можно просто продемонстрировать при помощи элементарных соображений, следующих из теории размерности. Так, при обтекании кругового цилиндра радиуса а необходимо рассматривать не силу, действующую на все тело, как это имеет место для трехмерных течений, а только силу, действующую на единицу длины тела, скажем F. Так как в уравнениях Стокса плотность жидкости р не входит в качестве параметра, то F может зависеть только от [л, а, и. Возможна только одна безразмерная комбинация FlyiU из этих переменных. Отсюда следует, что F iU = onst. Такая связь, очевидно, невозможна, так как из нее получается, что сила на единицу длины не зависит от размера цилиндра. Если положить а - 0, что соответствует исчезновению цилиндра, то сила [c.65]

Здесь мы не будем решать эту задачу ). Заметим только, что для фактического получения решения этой задачи можно, не опираясь на фактически написанные обыкновенные дифференциальные уравнения, с помощью соображений теории размерности написать два конечных интеграла системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений и таким путем получить в конечном простом виде точное решение задачи о сильном точечном взрыве. На рис. 60 даны графики результата решения задачи о точечном сильном взрыю. [c.414]

В [165] исследуется математическая структура полиномиальной теории измерений (применимой к структуре данных в том и только в том случае, если для нее выполнена аксиома иррефлексивности), и устанавливается взаимосвязь различных моделей измерений в общих концептуальных рамках, приводящих к математическим задачам, решение которых считается полезным. У теории нет простых эмпирически проверяемых условий. Этот подход предусматривает анализ данных с помощью многомерного шкалирования и факторных методов. Упорядочение расстояний между парами задает определенный порядок между ними, который может быть выражен в виде полиномиальной функции координат. Теория описывает погружение этого полинома в действительное л-мерное пространство с фиксированной размерностью. [c.264]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...