Теорема о выпрямлении траекторий

Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки Хо G М", не являющейся положением равновесия (г>(хо) Ф Ф 0), всегда существуют координаты xi,...,x , в которых дифференциальные уравнения приобретают простейший вид 1 = 1, 2 = = 71 = 0. Поэтому координаты Х2, , х составляют полный набор независимых интегралов любой интеграл — функция от Х2, . , Хп- Проблема интегрирования дифференциальных уравнений трактовалась классиками (вплоть до работ Пуанкаре) исключительно с точки зрения явных формул для интегралов. Эта задача, однако, чисто аналитическая, и ее решение никак не связано с особенностями поведения фазовых траекторий. Оказывается, в ряде случаев можно указать простые явные формулы для локальных интегралов, в то время как в целом динамическая система вовсе не имеет первых интегралов. [c.62]

Пусть F —> R — первый интеграл гамильтоновой системы i = V[j z). Оказывается, если dF zo) ф О, то ъ некоторой окрестности точки Zq М существуют такие канонические координаты xi,...,x ,yi,...,y , что F x,y) = 2/1 ). Это утверждение — гамильтонов вариант теоремы о выпрямлении фазовых траекторий (доказательство можно найти, например, в [157]). [c.63]

Задача о представимости динамической системы в виде уравнений Гамильтона включает отыскание двух объектов функции Гамильтона и подходящей симплектической структуры. Оказывается, в малой окрестности каждой неособой точки динамическая система на четномерном многообразии является гамильтоновой. Это вытекает из теоремы о выпрямлении фазовых траекторий в подходящих локальных координатах уравнения приводятся к виду [c.61]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...