Продолжаемая траектория

Теорема 39 (Бендиксон). Существует только конечное числа траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О и продолжаемых относительно данной окружности С. [c.275]

Тогда а) траектория Ьд со- и а-продолжаема с положительной (отрицательной) стороны б) ш- и а-продолжения траектории Ьд с положительной (отрицательной) стороны также являются -предельными для траекториями с положительной (отрицательной) стороны. [c.413]

Лемма 3. Пусть Кд — 0-предельный континуум, не являющийся замкнутой траекторией, а Ь — входящая в незамкнутая, отличная от состояния равновесия траектория, граничная д.гя ячейки IV с положительной (отрицательной) стороны. Тогда, а) траектория. Ьо со- и а-продолжаема с положительной (отрицательной) стороны [c.418]

Как отмечалось в главах 1 и 2, все процессы в рассматриваемой системе (2.1) предполагаются протекающими непрерывно. Если в некоторый заранее неизвестный момент времени 1о в системе (2.1) возникнет некоторая неисправность из списка (2.5) или неисправность, не предусмотренная списком (2.5), но близкая к какой-нибудь из списочной неисправности, то траектория системы (2.1) в последующее время при I > будет непрерьшно продолжаемой. [c.42]

Если полутраектория выделенная из траектории L, стрем1[тся к состоянию равновесия О и продолжаема с положительной (отрицательной) стороны, то траектория L называется со-продолжаемой с положительной (отрицательной) стороны. При этом полутраекторпя L -, являющаяся продолжением полутраектории L+, а также траектория L, из которой выделена полутраектория L , называется со-пр одолжением полутраектории L+ с положительной (отрицательной) стороны (илп полутраекторией и траекторией, являющейся о-иродолжсипем траектории L). Совершенно аналогично определяется а-продолжаемая траектория и ее а-продолжение. [c.276]

Пусть полутраектория +, стремящаяся к состоянию равновесия О, непродолжаема по отношению к окружности С. Может случиться, что эта траектория продолжаема по отношению к окружности С с центром в О, радиуса меньшего, чем С. Этот случай представлен на рис. 163. [c.272]

Отметим, что при уменьшении радиуса окружности С число продолжаемых относительно С траектории может иеограниченно возрастать. [c.275]

Доказательство. Пусть, как и выше, ер > О таково, что в замкнутой окрестности (О) не содержится ни одной замкнутой траектории и кроме состояния равновесия О ни одной целой особой траектории. Пусть для определенности рассматриваемая сепаратриса является -сепаратрисой. Обозначим ее через Она заведомо продолжаема, по крайней мере с одной из сторон, например с положительной стороны, относительно некоторой окружности С (см. теорему 38 15). Мы всегда можем предполагать, что эта окружность С лежит целиком в (О). Пусть С — произвольная окружность с центром в точке О, лежащая внутри С. Если бы продолжение сепаратрисы по отношению к окружности С было отлично от ее продолжения по отношению к окружности С, то в силу леммы 5 15 должна была бы существовать особая траектория, не являющаяся состоянием равновесия, целиком лежащая внутри окружности С, т. е. внутри (О). Но в силу выбора (О) пто невозможно. Следовательно, продолжение сепаратрисы Ьр с полонштельной стороны по отношению ко всем окружностям с центром в О, лежащим в (О), одно и то же. Это и означает, что полутраектория Ь продолжаема относительно состояния равновесия О с положительной стороны (см. определение XX главы УН). [c.321]

Пусть О у — состояние равновесия, со-предельное для траектории Ьу. В силу предыдущей леммы траектория Ьу продолжаема с положительной стороны, и траектория Ь ., являющаяся ее со-продолжением, тоже со-ире-дельна для полутраектории Ь с положительной стороны, т. е. 2 входит в Ка . Обознач1ш через состояние равновесия, со-предельное для траектории 2 (состояния равновесия Оу и О , в частности, могут совпадать). Продолжая аналогичное рассуждение, мы получим последовательность пз траекторий, входящих в континуум К , Ьу, Ьп,. . ., в которой каждая последующая является ш-продолжением предыдущей (с положительной стороны). Каждая траектория Ьу при - -оо стремится к состоянию равновесия О (г = 1, 2, 3,. . . ). Так как число траекторий, входящих в континуум Ги, конечно, в силу предположения о конечности числа особых траекторий, то существует наименьшее натуральное число Я такое, что траектории Ьу, Ь ,. . ., Ь различны, а траектория 1/л+1 совпадает с одной из траекторий Ьу, где 1 Но тогда непременно [c.414]

Предположим теперь, что траектория Ьо продолжаема с положительной стороны. Пусть Ох — состояние равновесия, к которому она стремится нри а Ьх — траектория, являющаяся ее со-продолжением с положительной стороны. Траектория Ьх либо не является со-продол-жаемо с положительной стороны, либо со-пр одолжаема с положительной стороны, тогда мы рассмотрим со-предельную точку 6>2 траектории Ьх и траекторию, являющуюся со-продолжением Ьх с положительной стороны. Продолжая аналогичное рассуждение, мы получаем последовательность орбитнонеустойчивых траекторий и состояний равновесия [c.473]

Состояния равновесия О1, О ,. . ., Од могут совпадать — частично или полностью. Так как траектория Ьи — не продолжаемая с положительной стороны, то, повторяя рассуждение, проведенное отпосп-тельно траектории Ьо при рассмотрении первой возможности, нетрудно убедиться в том, что траектория Ьп проходит через конец со-дуги Ь, сопряженной с дугой а, либо расположенной по положительную сторону Ьи, либо циклической. Если последней в последовательности (1) является нолутраектория Ьи с концом на границе области С, то тогда (см. лемму 8) она проходит либо через конец простой со-дуги, лежащей по положительную сторону от нее, либо через конец граничной циклической со-дуги. [c.474]

Замечание 1. Из самого доказательства настоящей леммы следует, что справедливо также утверждение, в извеглпом смысле обратное утверждению настоящей леммы. Пусть орбитно-неустойчивая траектория Ьо проходит через конец а-дуги а, лежащей от нее по положительную сторону, а) Если Ьо не является со-продолжаемой с положительной стороны, то существует со-дуга Ь, имеющая своим концом точку Ьо, либо лежащая по положительную сторону о, либо циклическая, и дуги а и Ь являются сопряженными, б) Если Ьо является со-продолжаемой с положительной стороны, то существует цепочка траекторий (1) и существует со-дуга Ъ, имеющая своим концом точку траектории Ьи (или полутраектории Ьи), либо лежащая по положительную сторону Ьп (Ьи), либо циклическая, причем дуги а и Ъ являются сопряженными дугами. [c.474]

Таким образом, для доказательства леммы остается рассмотреть случай, когда точка Р лежит на орбитно-неустойчивой траектории которая не проходит через конец ни одной а- и.ли ш-дугп. В этом с.лучае, очевидно, траектория Lq должна быть и со-, и -продолжаемой и при этом и с положительной, и с отрицательной стороны. Рассмотрим сначала со-продолжение траектории Lq с положительной стороны. Пусть Zj — [c.480]

IV. Если г и Ь — соответствующие друг другу по схеме особые траектории систем В и В, т. е. Ь = О (Ь ), то а) со- и а-предельпые континуумы этих траекторий являются соответствующими друг другу по схеме, в частности, соответствующими друг другу по схеме состояниями равновесия б) обе траектории одновременно являются со (а)-продолжаемыми или не продолжаемыми с одной и то11 же (положительной пли отрицательной) стороны в случае, когда они со (а)-продолжаемы с какой-нибудь стороны, траектории, служащие их со (а)-продолжениями с этой стороны, являются соответствующими друг другу по схеме траекториями. [c.485]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...