Решение в виде интеграла по траекториям

Решение в виде интеграла по траекториям [c.353]

Согласно теореме о выпрямлении, в малой окрестности любой точки Хо G М", не являющейся положением равновесия (г>(хо) Ф Ф 0), всегда существуют координаты xi,...,x , в которых дифференциальные уравнения приобретают простейший вид 1 = 1, 2 = = 71 = 0. Поэтому координаты Х2, , х составляют полный набор независимых интегралов любой интеграл — функция от Х2, . , Хп- Проблема интегрирования дифференциальных уравнений трактовалась классиками (вплоть до работ Пуанкаре) исключительно с точки зрения явных формул для интегралов. Эта задача, однако, чисто аналитическая, и ее решение никак не связано с особенностями поведения фазовых траекторий. Оказывается, в ряде случаев можно указать простые явные формулы для локальных интегралов, в то время как в целом динамическая система вовсе не имеет первых интегралов. [c.62]

С математической точки зрения решить вопрос о движении материальной точки — это значит определить траекторию (путь) этой точки и, кроме того, указать, какую скорость приобретает она в каждой точке своей траектории. Решение этой задачи осуш,ествляется путем построения дифференциальных уравнений движения изучаемой материальной точки и их интегрирования результатом последней операции и является определение искомой траектории. Заметим, что решение дифференциальных уравнений, иначе выражаясь — их интегри-эование, есть задача не элементарная и, в обгцем виде, выходягцая за пределы возможности современного математического анализа. Только некоторые вполне определенные классы дифференциальных уравнений допускают точное или хотя бы приближенное решение. [c.105]

Отсюда, между прочим, видно, что полная производная по времени от /(и) обращается в нуль только на стационарных решениях задачи (2.1), (2.2). Поэтому если вьшолнено а) (что обеспечивает ограниченность снизу интеграла /(и)), то ш-предельное множество траекторий вида p(t)w будет состоять только из стационарных решений, заключенных между а кЬ. [c.172]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...