Эйлерово описание

Отметим, что теория пластического течения предполагает использование эйлерова описания. Другими словами, декартовы прямоугольные координаты точки рассматриваемого тела в текущий момент применяются для идентификации точки при последующих приращениях деформации. Компоненты напряжений Оц в текущий момент определены по отношению к этим координатам аналогично тому, как это делалось для предварительных напряжений в 5.1. [c.324]

В случае эйлерова описания движения это удобно, поскольку формально материальная производная совпадает с полной производной по времени от сложной функции времени i, которое входит как явным образом, так и через закон движения х = [c.46]

Переходя к эйлерову описанию, получаем [c.316]

Опытные данные по коэффициенту К для пучков витых труб получены методом диффузии тепла от системы линейных источников, основанном на эйлеровом описании турбулентного течения [39, 9, 16]. Согласно этому методу при неравномерном поле тепловыделения в выходном сечении пучка сравниваются экспериментально измеренные и теоретически рассчитанные путем решения системы уравнений (1.8). .. (1.11) [c.100]

При расчете полей температур в пучках витых труб используется система дифференциальных уравнений, основанная на эйлеровом описании турбулентного течения [13]. Для замыкания этой системы уравнений требуется знать коэффициенты, огфеделенные методом, изложенным в работе [13], поскольку в общем случае К л К3. Для пучка с прямыми витьпйй трубами коэффициент Кз можно определить по формулам (4.15), [c.117]

Каждый из этих двух способов описания деформируемой среды имеет свою область эффективного использования. В механике деформируемого твердого тела более предпочтительным является лагранжево описание (оно и будет использовано в дальнейшем). В механике жидкости и газа, где исследуются течения сред, сопровождаемые значительными перемещениями ее частиц, используется эйлерово описание. [c.18]

Локальная производная используется при эйлеровом описании процесса деформирования, а материальная производная — при ла-гранжевом. В МДТТ, в основном, пользуются лагранжевым описанием деформирования сплошной среды, поэтому в дальнейшем локальные производные величин не рассматриваются. [c.27]

ЛАГРАНЖЕВО И ЭЙЛЕРОВО ОПИСАНИЯ ДВИЖЕНИЯ. Рассмотрим движение сплошной среды, не накладывая вначале требование малости смещений. Выберем некоторый базис бь б2, бз. Будем считать его фиксированным относительно наблюдателя. [c.93]

Во всех этих рассмотрениях использовался базис Э, жестка связанный с частицами тела, что отвечает лагранжеву описаник> процесса деформирования. При эйлеровом описании, которое обычно применяется при рассмотрении движения жидкостей, используется лишь одна исходная неподвижная система Э с координатами Xi, Х2, Хз. Такое описание оказывается эффективным, если для выявления общих свойств движения (деформирования) тела достаточно следить не за поведением данной частицы, а за явлениями, происходящими в данной точке пространства. Если в осях Xi, Х2, Хз выделить элементарную неподвижную ячейку пространства в виде, например, координатного параллелепипеда dxi, [c.188]

При использовании второго подхода, который носит имя Эйлера, рассматривают все величины как функцию координат частиц в текущий момент времени — пространственных координат (tZ/, X, X ). Подход Лагранжа называют также материальным, а подход Эйлера — пространственным. Другими словами, при ла-гранжевом описании движения среды следят за движением каждой материальной частицы среды, имеющей в начальный момент времени координаты (С ,С ,С ). При эйлеровом описании следят за происходящим в каждой фиксированной точке пространства (ж ,ж ,ж ), через которую в разные моменты времени проходят различные материальные частицы [59, 82. [c.6]

Таким образом, лагранжево и эйлерово описание движения сплошной среды эквивалентны в том смысле, что позволяют од-нознатао определить положение любой частицы среды в произвольный момент времени. [c.122]

Ишлинский А. Ю. Эйлерово описание деформирования одной изотропной среды Публикуется по доработанной рукописи, относящейся к 1936-1937 Г.Г. Прикладные задачи механики. Т. 1. — М. Паука-1986.-С.ЗЗЗ-335. [c.696]

Наиболее часто встречающейся проблемой, возникающей при использовании эйлерова представления, является численная диффузия. Она обусловлена тем, что при эйлеровом описании поверхности раздела в течении не могут бьггь локализованы с точностью, большей размера одной ячейки, если не вводить дополнительные степени свободы в этом представлении. Численная диффузия проявляется как преждевременное смешение среды на протяжении всей расчетной ячейки, что приводит к размытию контактных границ. Проблемы возникают также при расчете упругопластических деформаций и релаксационных явлений, где необходимо помнить предысторию дроцесса в каждой материальной частице. [c.39]

Можно построить математическое представление упругого поля с помощью так называемого обратного описания деформации тела, развитого в работах Маженна (G. А. Маи-gin), которые подытожены в монографии [2] (см. также обзорную статью [23]). Обратное описание деформации сплошной среды и соответствующая вариационная формулировка нелинейной теории упругости (когда действие для упругого тела представлено на основе эйлерова описания и варьированию подвергается обратное отображение = Х х , t)) неожиданно оказываются удобными для исследования сингулярного упругого поля и позволяют, в частности, с иных позиций взглянуть на энергетические соотношения нелинейной механики разрушения. Сам автор этого подхода называет обратное описание деформации описанием Пиола (G. Piola) и отмечает, что обратная вариационная формулировка в сущности совпадает с использованной Пиола еще в XIX в. [24] (затем забытой и никогда на деле не применявшейся). Ясно, что и два традиционных способа описания деформации сплошного тела (в духе Лагранжа и Эйлера), и возможность расширения понятия группы инвариантности функционала действия и обобщенного варьирования — следствия универсального принципа двойственности и полной равноправности отсчетной и актуальной конфигураций тела в состоянии его деформации, пронизывающих механику деформируемых тел как единую теорию. [c.674]

Для кубического расширения в эйлеровом описании при малых деформациях получается [c.131]

Когда одна и только одна из главных деформаций в точке сплошной среды равна нулю, говорят, что в этой точке существует состояние плоской деформации. Если в эйлеровом описании (лагранжево описание проводится точно по той же схеме) за ось Хз принять направление нулевой главной деформации, то плоская деформация происходит в плоскостях, параллельных плоскости и характеризуется тензором линейных деформаций [c.132]

Дано пространственное (эйлерово) описание движения континуума XI = Х1б + Хз (е — 1), лгг = Хз (е — е ) + Х , х = = Хз- Доказать, что якобиан J для такого движения отличен от нуля, и найти материальное (лагранжево) представление этого движения, обращая уравнения для перемещений. [c.167]

В заключение настоящего параграфа отметим, что, кроме использования соотношения (ЮЛ), имеется еще один способ установления связи между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками течения, основанный на рассмотрении произвольных характеристик жидких частиц (т. е. гидродинамических характеристик, значения которых у фиксированной жидкой частицы не меняются при ее движении). При лагранжевом описании каждую такую характеристику можно записать в виде Ч (х), так как при фиксированном X она не зависит от времени t, При эйлеровом описании. [c.487]

Зафиксируем текущую координату х, тогда (2.3) определит те точки (с координатами в начальном состоянии ), которые в различные моменты времени приходят в фиксированную точку х. Координаты х и t называются переменными Эйлера. Таким образом, при эйлеровом описании следят за тем, какие точки сплошной среды приходят в данную точку пространства, а в лагранжевом — за движением каждой точки. [c.22]

С точки зрения использования вычислительных методов лагранже-во описание движения в гидромеханике предпочтительно для одномерных задач (распространение плоской и сферической ударных волн, особенно в области развития скачка, положение которого заранее неизвестно), в то время как эйлерово описание широко используется при численных расчетах плоских и пространственных потоков, [c.44]

Иногда для материальной производной по времени в эйлеровом описании вводят специальное обозначение. Например, в случае ускорения материальной частицы это выглядит так [c.46]

Отсюда, например, для контравариантных компонент материальной производной в эйлеровом описании получаем [c.47]

Поскольку они связаны с определенной частицей среды, то остаются неизменными вдоль траектории частицы, так что в эйлеровом описании материальная производная от любой координаты равна нулю, т. е. [c.51]

В эйлеровом описании вектор V задан по условию, а ускорение получаем из выражения [c.51]

Для заданного закона движения среды в эйлеровом описании [c.54]

Эйлерово описание деформации. Пусть сплошная среда до деформации (в начальном состоянии) занимает пространственную область Кд, а после деформации (в конечном состоянии) — область V. [c.60]

Лагранжево описание деформации. Несмотря на наглядность и простоту, эйлерово описание деформации сплошной среды не всегда удобно. Так случается, когда анализ деформаций необходимо вести, опираясь на конечное состояние среды, которое, однако, можно определить только после решения задачи. Например, при рассмотрении виртуальных состояний деформированного тела, при силах, суш ественно зависящих от величины деформаций, и др. Такие ситуации всегда возникают, когда необходимо учитывать эффект конечности деформации и отличие начального положения среды от деформированного. В этих случаях прибегают к лагранжевому описанию деформаций, вводя систему координат, жестко связанную с деформирующейся средой. Эта система является системой лагранжевых координат, о которой мы уже говорили в предыдущем параграфе. В ней координаты каждой частицы не меняются при деформации, а сама система, будучи связанной со средой (ее потому и называют иногда вмороженной ), изменяется, следуя деформации среды меняется ее базис, метрика, определяемая метрическим тензором, изменяются координатные линии и др. Эти изменения происходят вследствие различия вектора смещений в частицах среды, так что, скажем, прямая координатная линия может стать кривой (см. рис. 6). [c.63]

Эйлерово описание. Если мы рассматриваем деформацию среды в фиксированной пространственной системе координат с базисом (а,, 3), то в силу того, что в этой системе [c.70]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Компоненты тензора скоростей деформаций в лагранжевых переменных (т. е. в сопутствующей, подвижной системе координат) можно выразить через компоненты тензора в эйлеровом описании, если исходить из соотношений (1.33), имеющих место и в случае малых деформаций. [c.192]

Предложенная Олдройдом (1950 г.) производная по времени от тензорных характеристик среды устанавливает связь между материальными производными от компонент тензора, взятых в абсолютной и собственной системах координат. При этом в качестве собственной системы выбирается лагранжева (сопутствующая) система, а система наблюдателя служит в качестве абсолютной системы. Таким образом, различие между двумя материальными производными целиком определяется движением среды, а их вычисление связано либо с лагранжевым, либо с эйлеровым описанием движения. [c.313]

Или, переходя в абсолютную систему координат, получаем в эйлеровом описании [c.315]

Это дифференциальное уравнение называют локальным уравнением баланса. Вспоминая определение полной (материальной в эйлеровом описании) производной по времени [c.321]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...