ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Интегралы системы дифференциальных уравнений из "Аналитическая динамика " Если а — обыкновенная точка области D, то через нее проходит одна-единственная траектория, по крайней мере в некоторой окрестности а если же а — особая точка, то она сама и будет траекторией однако возможен случай, когда через а проходит множество силовых линий (см. рис. 75—77). Решение задачи о нахождении характеристик можно разбить на два этапа сначала определить траектории, а затем искать зависимость между положением изображающей точки на траектории и временем t. Если траектории известны, то второй этап не представляет трудностей, по крайней мере в теоретическом отношении (см. начало 19.1 и окончание 21.2). [c.402] Свойство обратимости функций фг, обнаруживаемое из равенств (21.1.5) и (21.1.7), является важным отличительным свойством автономных систем. [c.402] В этом случае его называют пространственным интегралом. [c.402] Кроме того, на тех характеристиках, на которых в начальный момент и = О, f = х остается постоянным, но это не имеет места на всех характеристиках, и поэтому соотношение / = I не является интегралом. [c.403] Если автономная система достаточно проста, то можно найти более чем одно решение уравнения (21.1.10) всего может оказаться тп. — 1 независимых решений /1, /2,. . ., /т-1- В этом случае каждая траектория представляет линию пересечения т — 1 поверхностей, определяемых уравнениями вида /г = Ст. Всего мон ет быть не более т — независимых пространственных интегралов. Однако в общем случае нельзя гарантировать существование т — 1 однозначных или конечнозначных пространственных интегралов. Если мы можем найти те — 1 независимых решений уравнения (21.1.10), то для получения общего решения достаточно знать одно решение уравнения 21.1.9), содержащее t. [c.403] Если отношение piq есть число рациональное, то существует третий пространственный интеграл, представляющий алгебраическую функцию от (аг, у, и, у) при иррацио-вальных p/q интеграла не существует. [c.404] Если отношение p/q есть число иррациональное, то кривая, определяемая уравнениями (21.1.22), плотно заполняет прямоугольник со сторонами х = а, у = dr Ъ (см. рис. 49) при этом конечнозначного интеграла системы (21.1.22) не существует. [c.404] Другое доказательство этого соотношения будет дано в 21.5 (см. уравнение (21.5.4)). [c.404] Вернуться к основной статье