Предельный континуум для отрицательной) стороны

Теорема 68 ). Пусть одна из отличных от состо.яни.ч равновесия траекторий континуума ЛГщ (и-предельна для Ь+ с положительной отрицательной) стороны. Тогда все входящие в Ка, отличные от состояния равновесия траектории являются продолжением одна другой с положительной отрицательной) стороны, аз-пре-дельны для Ь с положительной стороны и могут быть перенумерованы так, что всякие две последовательные в этой нумерации траектории, а также последняя и первая траектории являются аз-продолжением друг друга с положительной отрицательной) стороны. [c.414]

В дальнейшем нам всегда придется рассматривать пе просто континуум ЛГи, а континуум предельный с определенной стороны — положительной или отрицательной. В связи с этим введем следующие обозначения [c.417]

Если мы не хотим указывать точно, с какой именно стороны, с положительной или отрицательной, мы рассматриваем ш (или а)-предельный континуум К, но хотим подчеркнуть, что рассматриваем его как предельный только с одной определенной пз этих двух сторон, то мы будем обозначать его через К К [c.417]

Лемма 3. Пусть Кд — 0-предельный континуум, не являющийся замкнутой траекторией, а Ь — входящая в незамкнутая, отличная от состояния равновесия траектория, граничная д.гя ячейки IV с положительной (отрицательной) стороны. Тогда, а) траектория. Ьо со- и а-продолжаема с положительной (отрицательной) стороны [c.418]

К — 05-, а- или О-предельны континуум. В согласии с предыдущим мы будем называть континуум К односторонним , если он является предельным только с одной, с положительной или отрицательной стороны и двусторонним , сели он является предельным как с положительной, так и с отрицательной стороны (очевидно, для различных траекторий). [c.435]

В том случае, когда сторона, с которой рассматриваемый континуум, являющийся О-предельным, не указывается, мы будем так же, как и в случае со- и а-предельных континуумов, пользоваться обозначением Кд В частности, континуум Ао может являться как 0-предельньтм, с ноло-жнтельной стороны, так и О-предельным с отрицательной стороны (но, конечно, для различных областей). В этом случае мы будем рассматривать его два/кды, как континуум К и как континуум ЙГ (рпс. 254). [c.420]

Доказательство. Так как 5 — простая замкнутая кривая, то существуют только две полутраектории Ь ж Е, принадлежащие К - (т. е. К ), стремящиеся к О и являющиеся продолжением одна другой с положительной стороны. Полутраектории и не могут быть продолжением одна другой также и с отрицательной стороны, так как тогда стремящейся к О траектории Ь, отличной от входящих в континуум траекторий, очевпдно, существовать не могло бы. Поэтому полутраектория Ь либо не имеет продолжения с отрицательной стороны, либо имеет продолжение с отрицательной стороны, отличное от (рис. 263, а, б). В первом случае а) полутраекторпя вообще не является предельной с отрицательной стороны, во втором б) — она может входить в некоторый со-, а- или О-предельный континуум К , отличный от К. Это означает, что К — односторонний континуум. [c.435]

Под (Ка) мы будем подразумевать континуум, являющийся ш-предельным с положительной (отрицательной) стороны и рассматриваемый как ш-нредельный только с этой стороны. Точно так же введем обозначения К и К - [c.417]

Мы будем также иногда говорить, что К является О-предельным континуумом для траектории Ь, подразумевая под )тим, что Ь нринадле- кит ячейке, для которой является граничным континуумом. Совершенно аналогично мы будем говорить о континууме Л о, являющемся 0-пре-де.чьиым с отрицательно стороны, и обозначать его через К . [c.419]

Оиределение XXVHI. Мы будем говорить, что задана полная хема предельного континуума Ю если. 1) указано, с какой стороны этот континуум яеляется предельным, с положительной или отрицательной т. е. указывается, какой знак, или —, таходится в скобке в обозначении Ю 2) задана локальная схема этого континуума, т. е. указано, яеляется ли он со-, а- или О-предельным, и задается (о-перечисление входящих в него траекторий, 3) указано, на каких из простых замкнутых кривых Si, входящих в состав континуума положительное направление обхода совпадает с направлением по t, а на каких противоположно этому направлению (кривые Si определены в силу задания локальной схемы, см. замечание к лемме 1 25) 4) в случае, когда есть со- или а-предельный континуум, указаны все стремящиеся к нему особые полутраектории и их циклический порядок, причем отмечено, какие из этих полутраекторий являются угловыми и какие принадлежат орбитно неустойчивым траекториям. [c.443]

Определение XXIX. Мы будем говорить, что полные схемы двух со-, а- или О-прсделъных континуумов и К тождественны с сохранением ориентации и направления по 1, если 1) тождественны локальные схемы этих континуумов, 2) оба континуума одновремепно являются со-, а- или О-предельными с положительной или с отрицательной стороны 3) существует соответствие по локальной схеме между траекториями континуумов и К при котором на соответствующих друг другу кривых 81 и 8 этих континуумов направление Рис. 269. положительного обхода либо на обеих совпадает [c.445]

Рассмотрим условие в). Пусть даны два различных предельных континуума К г И 5 (не являющихся СОСТОЯНИЯМИ равновесия). Мы рассматриваем односторонние предельные континуумы (см. главу ]Х), поэтому различные предельные континуумы могут 1) лпбо не пметь общих точек 2) либо иметь не все точки общими 3) либо, наконец, онп могут совпадать как точечные множества, но тогда один из этих континуумов является континуумом А+, а другой К , так что все отличные от состояний равновесия траектории, входящие одновременно в оба континуума, будут в одном из них предельны с положительной стороны, а в другом — с отрицательной стороны. В случае, когда континуумы К и Ку не имеют общих точек — выполнимость условия в) очев1Щна. [c.456]

Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума ку и ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все точки этих континуумов общие, так что континуумы КУ и Ку различны как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через точки любой канонической окрестнос П К и ограничивающего ее цикла без контакта С , имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе траектории, проходящие через точки канонической окрестности /Г и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы КУ и Юу совпадают как точечные множества, так что один пз этих континуумов является континуумом КТ, а другой К1. Пусть — какая-нибудь отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав зтих континуумов. Если канонические окрестности континуумов К и К имеют общие точки, то траектория Ьа для всякой траектории Ь, проходящей через такую общую точку, является предельной как с положительной, так и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек. [c.456]

Действительно, (о-перечисление континуума позволяет указать, какие именно полутраектории стремятся к рассматриваемому состоянию равновесия Оу, а их циклический порядок устанавливается при помощп лемм 4—7. С друго11 стороны, если относительно не указано, с какой стороны, с положительной или отрицательной, он является предельным, но известен щп лический порядок, принадлежащих ему полутраекторий вокруг каждого входящего в него состояния равновесия Оу (например, в силу задания полных схем этих состояний равновесия), то на основании лемм 4—7 устанавливается, с какой стороны этот континуум К является предельным. [c.444]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...