Индуцированное топологическое отображение

Для динамических систем с непрерывным временем инварианты, определенные выше, бессодержательны, так как каждый элемент потока гомотопен тождественному отображению и, следовательно, индуцирует тривиальные отображения на фундаментальной группе и группах гомологий. Имеются, однако, иные способы измерения роста топологической сложности. Например, на компактном связном многообразии X можно зафиксировать точку реХ я семейство кривых Г= хеХ] ограниченной длины, соединяющих р с различными точками X Тогда для потока Ф = 9 X - Х можно зафиксировать Т и рассмотреть для каждого хеХ петлю 1(х, Т), состоящую из кривой 7 , отрезка орбиты и пути, обратного к Эти циклы [c.129]

И, так как инвариантный объем индуцирует элемент длины, образ любого интервала, не содержащего точку разрыва, имеет ту же длину, что и сам интервал. Таким образом, ограничение отображения возвращения на любой интервал без точек разрыва является параллельным переносом, и мы имеем частный случай положения, описанного в следствии 14.1.7. Топологически эта трансверсаль является окружностью, и она представляет собой объединение замыканий трех интервалов Д,, Дг и Дз без точек разрыва, длины которых соответственно равны = [c.471]

Имеется естественное взаимно однозначное соответствие между классами сопряженности подгрупп Г[(М) и классами накрытий по модулю гомеоморфизмов, коммутирующих с накрывающими преобразованиями. В частности, универсальное накрывающее пространство единственно. Это взаимно однозначное соответствие может быть описано следующим образом. Предположим, что (М, ir) — накрытие М и х. ir y). Так как многообразие М линейно связно, существуют такие кривые с [0,1]— М, что с( ) = х для = 1,2. Под действием тг они проектируются в замкнутые кривые на М. Любое непрерывное отображение индуцирует гомоморфизм фундаментальных групп. Любое непрерывное отображение обладает поднятием, так что гомотопия цикла тг о с, сохраняющее точку jf, может быть поднята до гомотопии кривой с, и, так как по предположению множество у) дискретно, эта гомотопия сохраняет концы. В частности, гомотопные кривые проектируются в гомотопные кривые, и если положить X, = Х2, то фундаментальная группа пространства М вкладывается в фундаментальную группу М как подгруппа. Это подгруппа, соответствующая накрытию. Кроме того, эта подгруппа является собственной, если проекция тг не является гомеоморфизмом, т. е. накрытие нетривиально. Таким образом, у односвязного пространства нет нетривиальных собственных накрытий. Можно также показать, что любые два накрытия М, и многообразия М обладают общим накрытием М", так что универсальное накрывающее определено однозначно. Любое топологическое многообразие обладает универсальным накрывающим. [c.696]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...