Области Уравнение Хилла

Рассмотрим задачу, родственную предыдущей, постановка которой также восходит к девятнадцатому столетию. Потенциальные течения идеальной жидкости на искривленных поверхностях рассматривались Бельтрами, Хиллом и Умовым (работы последнего относятся к области классической электродинамики, их результаты могут быть перенесены в динамику вихрей вследствие существования хорошо известной аналогии). В работе [21] известный русский механик И. С. Громека рассмотрел уравнения движения точечных вихрей на поверхностях сферы и цилиндра, а также даже более общую задачу о движении вихрей в области, ограниченной замкнутым неподвижным контуром на этих поверхностях. [c.36]

Области параметрического резонанса для уравнения Хилла центрально симметричны относительно начала координат плоскости ( , т]). Они получаются после исключения из единичного квадрата полосы, заключенной между наклонными прямыми. Левый верхний и правый нижний углы квадрата принадлежат резонансной области при любых отличных друг от друга положительных значениях шь Ш2- [c.247]

Очевидно, что выбором параметров 6 и е невозмущенное движение д = О, j = О можно сделать устойчивым и неустойчивым. Так, например, при е = О и б > О, движение устойчиво, а при е = О и б < О это движение неустойчиво. Поэтому задачу об устойчивости решений уравнения Хилла можно поставить следующим образом в плоскости параметров 6 и е найти области устойчивости и неустойчивости невозмущенного движения а = О, т = 0. [c.240]

H i случаев 3 и 4 следует, что на границе области устойчивости, то есть для значений б и е, удовлетворяющих уравнениям (7.79), существуют периодические peujeHHH периода Т и 2Т. Эти выводы дают возможность определить границы области устойчивости из условия существования периодических решений уравнения Хилла. [c.242]

Прежде чем перейти к определению границ области устойчивости, рассмотрим аналитический вид решений уравнения Хилла (7.76). Пользуясь формулами (7.66) и (7.69), запишем общее решение в следующей форме [c.242]

Рассмотрим теперь аналитический вид решения уравнения Хилла (7.76), отвечающего значениям параметров е и б из области устойчииости. 1 ак было установлено, в этой области оба корпя pi и ()а уравнения (7.78) — комплексно-сопряженные числа, причем Pi I = I Рг I == 1-На основании определения логарифма комплексного числа будем иметь (р = р) [c.243]

В общем решении (7.80) или (7.87), отвечающем области устойчивости, постоянные вещественные числа А и fi определ [ются из начальных условий движения, а у (t) и V (t) или ( ) и г t) — вещественные периодические функции, период Г которых равен периоду возбуждающей функции 1 ) (t). Как правило, функции 7 (<) и v (t) (тем самым и функции я ( )иг1 ( )), а также число к = arg р определить в замкнутой форме мы не монгем, так что равенства (7.86) и (7.87) определяют только форму решения уравнения Хилла, а не само решение. Однако из )thv равенств мы можем составить общее представление [c.244]

Область вещественных собственных чисел совпадает с областью не ограниченно возрастающих решений уравнения Хилла (область неустойчи вости решения, а следовательно, и неустойчивости механической системы) а область комплексных собственных чисел — с областью ограниченных (поч ти-периодических) решений (область устойчивости решения, а следовательно, и устойчивости механической системы). На границах областей, ограниченно и неограниченно возрастающих решений [c.462]

Из уравнения (10) видно, что при 2и>в к возникают биения. Области устойчивости и неустойчивости для уравнения (10) находятся как области устойчивости уравнения Хилла [20]. На границах областей устойчивости и неустойчивости возникают биения, которые состоят из гармонических колебаний, обусловленных движением шариков, и гармонических колебаний, обусловленных наклоном внешнего и внутреннего колец. Один период биений равен времени двух оборотов сепаратора с увеличением числа шариков область неустойчивости гармонических колебаний сужается. Гармонические осевые колебания, обусловленные наклоном кольца, оказываются всегда устойчивыми, но при 2сов = [возникает резонанс, что проверено экспериментально. [c.11]

Г. В. Бондаренко Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний. М., Изд-во АН СССР, 1936. [c.18]

Области неустойчивости уравнения Хилла. Рассмотрим уравнение Хилла (25), предполагая, что функция Ф (/) представлена в виде [c.359]

Границы областей неустойчивости для уравнения Хилла могут быть найдены также из уравнения [7, 17] [c.359]

Для уравнения Матье, уравнения Хилла и некоторых других уравнений диаграммы устойчивости уже построены, однако часто требуется приближенно определить области устойчивости для уравнений, еще не исследованных столь детально, и особенно для систем уравнений. Не вдаваясь в подробности, наметим путь, ведущий к этой цели. [c.170]

Из теории уравнения Хилла, которая ранее была рассмотрена для частного случая, а именно для уравнения Матье, известно, что если между собственной частотой осциллятора и частотой изменения коэффициента Р(/) существуют определенные целочисленные отношения, то могут появляться области неустойчивости решения. В данном случае возможны неустойчивые решения в окрестности частот [c.265]

В последующих двух разделах указанное построение областей будет показано для двух наиболее часто встречающихся вариантов уравнения Хилла. [c.186]

Бондаренко Г. В. Уравнение Хилла и его применение в области технических колебаний. М.—Л. Изд. АН СССР, 1936.— 50 с. [c.575]

Некоторые свойства уравнений Матье и Хилла. Особенностью уравнений Матье и Хилла является то, что при некоторых соотношениях между их коэффициентами они имеют неограниченно возрастающее решение — в системе возникают и развиваются с неограниченно возрастающей амплитудой резонансные поперечные колебания. Иными словами, при таких комбинациях коэффициентов система находится в состоянии динамической неустойчивости. Такие комбинации коэффициентов непрерывно заполняют целые об-ласти на плоскости в системе осей (й д/2р) -На рис. 18.113 показана эта плоскость и на ней штриховкой отмечены области комбинаций параметров, соответствующих динамической неустойчивости решения уравнения Матье (18.172). [c.461]

Исследуя уравнение (1) методом Н. Хилла [20, 21], можно показать, что области парам<етрических резонансов, вызывающие потерю динамической устойчивости стержня, возникают вблизи значений частот внешней силы [c.8]

Определение областей неустойчивости уравнения Матье — Хилла в общем случае. [c.124]

Алгоритм метода обобщенных определителей Хилла. Для системы с п степенями свободы при сохранении в рядах Фурье (54) и (55) первых Ра р гармоник соответственно размерность матрицы К равна 2п (2/io + 1) (2р + 1). В связи с высокой размерностью могут встретиться затруднения при проверке условий устойчивости. Если система обладает полной и достаточно сильной диссипацией, то следует отдать предпочтение критерию Зубова. Если диссипация отсутствует или она не является полной, то в области устойчивости все или часть характеристических показателей — чисто мнимые. Критерии Рауса — Гурвица и Зубова в этих случаях непригодны. Устойчивость проверяют непосредственным вычислением комплексных корней уравнения (56). [c.130]

Рис. 1. Границы областей устойчивости уравнения Матье-Хилла с коэффициентами, возбуждаемыми случайными процессами

На рис. 2-1 приводится сопоставление формул (2-3-2) и (2-3-6) с опытами Данберга [Л. 125] и Хилла [Л. 155]. Опытами охвачен достаточно широкий диапазон чисел Маха (до 9,1). Как видно из графика, опыты на пластине [Л. 125] подтверждают принятую зависимость при 6=1,0. Опыты, полученные в конических соплах [Л. 155], удовлетворительно подтверждают уравнение (2-3-6) при е = 0,5 в пристенной области. [c.39]

В области фундаментальных теорем термопластичности следует отметить работу Хал фена [17], в которой дано интегральное условие однозначности краевой задачи несвязанной термопластичности для случая конечных деформаций. Аналогичное условие получено также и для связанной термопластичности. Эти условия могут быть использованы при анализе бифуркации состояний равновесия конструкций под влиянием термомеханических полей. Таким образом, в [17] получены обобщения известных условий Хилла [18, 19] в теории пластичности. Вариационные принципы в связанной термопластичности предложены в [20]. Эти принципы относятся к краевой задаче и упрощенным уравнениям, обсужденным в ч. II работы. В [20] показано, что в локально адиабатических процессах мощность поверхностных сил не меньше мощности поверхностных сил в изотермических процессах при условии, что предел текучести с возрастанием температуры уменьшается. [c.244]

При анализе процесса накатки шлицев за основу исследования напряженного состояния принимается поле линий скольжения, предложенное для волочения через гладкую матрицу Хиллом [1]. Поле линий скольжения показано на рис. 3, а. Допускается, что нормальные напряжения, действующие на поверхности контакта АВ, распределены равномерно. Это условие определяет поле линий скольжения А—В—И, состоящее из взаимно перпендикулярных прямых. Угол а находится из уравнения (8). Точки А и В являются особыми точками поля линий скольжения и определяют центрированные поля А—10—И, В—11—01. Линии скольжения в области 10—И—01—00 строятся от двух дуг окружностей И—10, 11—01. Материал заготовки вне области А—00—В принимается жестким. Линии скольжения А—10— 00, В—01—00 являются жесткопластическими границам , по которым яроисходит разрыв касательной компоненты [c.99]

Если в пластической зоне деформации г" становятся преобладающими, то в этой области V приближается к /г Упругая зона должна быть окружена слоем материала, в котором коэффициент Пуассона меняется в интервале значений от v = Vз (для стали), соответствующих чисто упругим деформациям, до значения =72- Хотя предшествующие замечания можно отнести в первую очередь к более простым случаям частичной текучести, как, например, к изгибу балок и др., здесь все же вновь следует указать на то, что если составляющие напряжений, вызывающие течение элементов материала, изменяются в процессе пластического деформирования, то упруго-пластические зависимости (28.38) между напряжениями и деформациями в конечной форме следует заменить соответствующими зависимостями для бесконечно малых приращений деформации. Это имеет место, когда пластическая зона продвигается через тело, неся с собой собственное поле напряжений (хотя в некоторых более простых приложениях главные направления напряжений и не претерпевают поворота в элементах материала). В таких задачах следует рассматривать приращения полной деформации, которые равны суммам приращений их уирз той и пластической частей, для чего необходимо шаг за шагом интегрировать все зависимости между напряжениями и деформациями (помимо интегрирования других уравнений). Ход соответствующих выкладок указан в статье Р. Хилла, Е. Ли, С. Таппера ). К. Свейнгер распространил интегрирование бесконечно малых приращений полной деформации на случай металла, обладающего упрочнением. Он имел дело в одном случае с малыми ), в другом —с конечными ) деформациями и предполагал, что можно упростить вычисления для трехмерного однородного напряженного состояния, заменив кривую [c.481]

Уже в исследованиях Хилла и Флоке, относящихся к концу прошлого века, было установлено, что в определенных областях значений параметров указанные уравнения имеют при оо неограниченные решения. В таком случае говорят о явлении параметрического резонанса. Этот термин, введенный А. А. Андроновым и М. А. Леонтовичем (1927), установился в связи с тем, что соответствующие системы можно трактовать как системы с изменяющимися параметрами (например, с переменной жесткостью). [c.97]

Было показано (Б. 3. Брачковский, 1942 Г. Ю. Джанелидзе, 1953, и др.), что подстановка типа (12.1) приводит к разделяюш,имся уравнениям типа Матье — Хилла в том и только в том случае, если формы собственных колебаний упругой системы совпадают с формами потери устойчивости при статических нагрузках (собственными элементами задачи о бифуркациях). Уравнения для обш его случая впервые исследовались В. Н. Челомеем (1938). В. В. Болотин (1953) предложил метод для построения областей неустойчивости в обш,ем случае этот метод основан на разложении решения в матричные ряды. В. А. Якубович (1958), отправляясь от результатов М. Г. Крейна (1955), развил метод, основанный на введении малого параметра. Подозрительным с точки зрения устойчивости являются частоты, лежаш ие вблизи [c.354]

Легко видеть, что при переходе от ограниченной задачи трех тел к ее предельному варианту — задаче Хилла — исчезают две треугольные и одна коллинеарная точки либрации. Действительно, система уравнений 1 /=1 / = 0 имеет всего два решения (х, у) = ( 3" , 0). Области Хилла [c.86]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...