Инварианты напряженного состояния в точке тела

П1 ИНВАРИАНТЫ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ТОЧКЕ ТЕЛА 399 [c.399]

И. Инварианты напряженного состояния в точке тела [c.399]

Напряженное состояние в точке тела может быть охарактеризовано тремя инвариантами (1.13) или (1.14). Кроме этого, в теории пластичности применяется инвариантная величина [c.260]

Тензор напряжений и его инварианты. Как известно, напряженное состояние в точке нагруженного тел определяется шестью компонентами тензора напряжений (i, k — I, 2, 3), или [c.14]

Введем понятие инвариантного пространства напряжений, элементом или точкой которого являются три главных напряжения 0-2, 0 3 (рис. 1п). Кривой на рис. 1п изображена возможная траектория нагружения некоторой точки тела При исследовании напряженного состояния в изотропных телах каждое главное напряжение является равноправным и никаких ограничений типа неравенств (71 tXg, принятых в сопротивлении материалов, здесь не устанавливают. Будем называть пространство главных напряжений сг-пространством. Ввиду того, что главные напряжения являются инвариантами тензора напряжений, очевидно, любой геометрический образ в а-пространстве останется инвариантным при преобразованиях системы координат в физическом пространстве (см. гл. I). , [c.232]

Инварианты тензора напряжений (1.16) и (1.17) являются основными характеристиками напряженного состояния в точке твердого деформируемого тела. [c.25]

Если два главных напряжения равны нулю, то эллипсоид напряжений превращается в отрезок прямой линии, расположенной на одной из главных осей тензора напряжений. Напряженное состояние в этом случае называется одноосным. Необходимым условием существования одноосного напряженного состояния в некоторой точке тела является одновременное равенство нулю второго и третьего инвариантов тензора (о- ,). . . [c.44]

Деформированное состояние в точке напряженного тела характеризуется шестью составляющими деформации Ъх, у, z. Уху, Vyz. Vjj . Они связаны геометрическими соотношениями Коши (4.3) с составляющими перемещения u,v,ww должны удовлетворять шести уравнениям неразрывности деформаций (4.4). Основными, не связанными с системой координат характеристиками деформированного состояния в точке являются инварианты деформированного состояния (2.15) и инвариантные величины интенсивность деформаций сдвига (2.16) и интенсивность деформаций (2.17). [c.219]

Предположим дополнительно, что гидростатическое давление (первый инвариант тензора напряжений) не влияет на зависимость между девиаторами напряжений и деформаций. Строго говоря, эта гипотеза неверна, но для многих металлов и сплавов она выполняется с достаточно большой точностью, введение же этой гипотезы позволяет намного упростить построение теории. Пусть, для простоты, отличны от нуля два компонента девиаторов. Тогда процесс нагружения в фиксированной точке тела будет изображаться кривой на плоскости а°, а°, процесс деформирования — кривой на плоскости е , Упомянутая выше зависимость связи напряжений с деформациями от истории нагружения означает, что деформированное состояние в данной точке тела зависит от всей кривой на плоскости а°, (т . Математически этот факт эквивалентен тому, что соотношения между напряжениями и деформациями в пластической области, вообще говоря, будут либо дифференциальными неинтегрируемыми, либо операторными зависимостями. Теории, использующие дифференциальные неинтегрируемые соотношения, известны как теории течения они, как правило, строятся с использованием введенного выше понятия поверхности текучести. Рассмотрим простейший класс операторных теорий, которые применяются только для специального вида процессов нагружения. [c.267]

Когда одно из главных напряжений равно нулю, то поверхность эллипсоида Ламе обращается в геометрическое место точек плоской замкнутой области, ограниченной эллипсом е полуосями, равными отличным от нуля главным напряжениям в рассматриваемой точке тела. В этом случае векторы напряжений на всех площадках, проходящих через точку тела, располагаются в одной плоскости и напряженное состояние называется плоским или двухосным. Тензор (сгг ) плоского напряженного состояния характеризуется, как это вытекает из (2.34), равенством нулю третьего инварианта = I что имеет место, [c.43]

Механические свойства в каждой точке тела аналитически выражаются вполне определенной связью между тензором напряжений и тензором деформаций (или скоростей деформаций), содержащей некоторые величины (модули), не зависящие от напряженного и деформированного состояний. Наибольшее число исследований относится к неоднородным телам, для которых определяющие законы принимаются одинаковыми для различных точек, но модули считаются различными. Модули задаются в виде некоторых известных скалярных или тензорных полей, инварианты которых являются функциями координат точек тела. [c.137]

Хорошо известно, например, что с математической точки зрения критерий Сен-Венана не всегда оказьшается удобным для использования. Чтобы обойти эту трудность, Мизес предложил другой критерий, имевший гораздо более простой вид (при его формулировке не в главных осях напряжения). Этот критерий для любых напряженных состояний приводил к результатам, близким к критерию Сен-Венана, и мог рассматриваться как приближенная формулировка последнего. Однако эксперименты неожиданно показали, что для поликристаллов критерий Мизеса лучше совпадает с опытами, чем критерий Сен-Венана, что заставило искать физическое объяснение. В [1] показано, что инвариант Мизеса можно истолковать как величину, пропорциональную среднему касательному напряжению в рассматриваемой точке тела. [c.74]

Если поэтому желательно получить явное соотношение между напряжением и деформацией, то нужно вычислить функцию ] , а это в свою очередь ведет к необходимости некоторых физических предположений относительно природы деформируемого тела. Мы ограничимся рассмотрением тел, которые имеют постоянную плотность в недеформированном состоянии, а упругий потенциал этих тел зависит только от трех инвариантов деформации А- - 3. определяемых выражениями (5.1), и от скалярных функций координат. Твердое тело, обладающее последним свойством, называется изотропным, если, далее, эти скалярные функции являются постоянными, можно сказать, что тело является однородным. Следовательно, для однородного изотропного тела величина Ш является функцией только 1 , 1 , 1з- В этой книге будут рассматриваться однородные изотропные тела. [c.36]

Теперь, сопоставляя (1.48), (1.52) и (1.55), приходим к заключению, что линейный инвариант девиатора напряжений указывает на отсутствие сжатия — растяжения в среднем квадратичный и кубичный инварианты характеризуют соответственно средние квадратичное и кубичное уклонения напряженного состояния N2, Л/3 от среднего гидростатического напряжения, соответствуюш,его тензору напряжений в данной точке тела ). [c.39]

Несжимаемые шела. Известно, что многие упругие при конечных деформациях материалы деформируются без заметного-изменения объема. Такие материалы относятся к несжимаемым упругим материалам. Практически все решения задач теории упругости при конечных деформациях получены именно для таких материалов. Кроме того что все движения несжимаемых материалов происходят без изменения объема, их характерной особенностью-является то, что тензор напряжений не полностью определяется деформацией. Действительно, ясно, что к напряжениям в деформированном несжимаемом материале можно добавить с любым множителем напряжения, которые обычно связаны с изменением объема, т. е. произвольное гидростатическое давление. При этом деформация тела не изменяется. Другими словами, дополнительное приложение гидростатического давления к несжимаемому упругому телу изменяет напряжения в нем, но не влияет на деформации или, для гиперупругих материалов, энергию деформации. Поскольку изохорическим движениям соответствует равенство единице третьего главного инварианта /д, уравнение состояния для несжимаемых материалов имеет вид [c.249]

Для данной точки тела величины, стоящие в правой части равенств (5.40), являются строго определенными. Следовательно, строго определенными получаются и величины, стоящие в левых частях равенств, несмотря на то, что в каждой системе осей ху величины Ок, (Ту и %ху свои собственные. Выражения, сохраняющие свои значения при изменении входящих в них элементов, происходящем с изменением некоторого фактора, например при изменении системы координатных осей, называются инвариантами-, этот термин подчеркивает неизменность (инвариантность) величины по отнои ению к соответствующему фактору (в нашем случае по отношению к системе координатных осей). Левые части равенств (5.40) являются соответственно первым и вторым инвариантами плоского напряженного состояния в точке правые части показывают, чему равны эти инварианты. [c.399]

Коэффициенты ij, и свободный член уравнения (VIII.8) называются инвариантами (независящими от выбора системы координатных осей) напряженного состояния в данной точке тела. Из выражения для в частности, следует, что сумма трех нормальных напряжений по любым трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через данную точку, постоянна. [c.283]

Феноменологический критерий прочности не должен содержать никаких ограничений относительно механизма разрушения или характера предельного состояния. Для анизотропных тел феноменологический подход имеет особенно большие преимущества, так как появляется возможность использования общего условия прочности для материалов, разных по составу и технологии, но одинаковых по симметрии свойств, и для материалов со значительной анизотропией, для которых одно и то же напряженное состояние может привести к разным по физической природе предельным состояниям, если изменяются знаки напряжений или их ориентация. Аппроксимирующий полином при этом подбирается в такой форме, чтобы его можно было представить в виде совместного инварианта тензора напряжений и некоторого тензора, содержащего характеристики прочности материала. Из уравнения предельных напряженных состояний выводятся тензориальные формулы пересчета характеристик прочности материала при повороте осей координат, отвечающие экспериментальным данным и позволяющие описать всю кривую на рис. 3.1, 3.2 или 3.4. [c.142]

Принятая модель разрушения допускает следующую интерпретацию. Принимается, что любая повре>кдаемость в материале определяется величиной и ее направлением. Примером может служить такая микротрещина в материале, которую можно характеризовать некоторой площадью и направлением нормали к своей плоскости. В окрестности рассматриваемой точки можно выделить некоторый объем материала, внутри которого напряженное состояние будет постоянным, т. е. = onst. Степень повреждаемости материала в пределах некоторого телесного угла dQ в направлении оси Z будет характеризоваться величиной dQ (рис. 110). Мерой повреждаемости материала в окрестности взятой точки будет функция П , отложенная на единичной сфере с центром в данной точке. Разрушению в точке отвечают условия (6.61) или (6.62). Из допущения о том, что повреждения в теле вызываются только механическими напряжениями, следует существование функциональных связей между тензором напряжений и функцией на сфере. Поскольку функция в каждом направлении z должна характеризоваться некоторой скалярной величиной, то ее аргументы должны быть инвариантами тензора напряжений относительно поворота системы координат вокруг оси г (для изотропных материалов). Для описания кинетики разрушения В. П. Тамуж [c.205]

Замечательно, что в каждой точке тела при данном напряжённом состоянии существуют три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, касательные же равны нулю. Нормали- к этим площадкам называются главными осями напряжений (или тензора напряжений), а сами напряжения — главг ными напряжениями. Ясно, что как главные направления, так и величины главных напряжений определяются только напряжённым состоянием в рассматриваемой точке, но не системой координат (х, у, г или х, у, г у, такие величины называются инвариантами при повороте осей координат. [c.20]

Когда одно из главных напряжений равно нулю, то поверхность эллипсоида Ламе обращается в геометрическое место точек плоской замкнутой области, ограниченной эллипсом о полуосями, равными отличным от нуля главным напряжениям в рассматриваемой точке тела. В этом случае векторы напряжений на всех площадках, проходящих через точку тела, располагаются в одной плоскости и напряженное состояние называется плоским или двухосным. Тензор (а >) плоского напряженного состояния характеризуется, как это вытекает из (2.34), равенством нулю третьего инварианта /3 (0( ) = , что имеет место, Когда соответствующие элементы двух столбцов или двух строк опре- йпнтеля иэ компонент тензора (0( ) пропорциональны. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...