Вариационные методы. Метод Ритца

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили методы Рэлея—Ритца, Бубнова— Галеркина. [c.127]

Вариационный метод Рэлея-Ритца. Согласно этому методу перемещения щ представляются в виде рядов функций, каждая из которых удовлетворяет геометрическим граничным условиям. Пусть, например, [c.127]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Одним из наиболее эффективных вариационных методов является метод Рэлея — Ритца. По этому методу решение представляется в виде выражения, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неизвестные коэффициенты h, где k= ,2, 3, 4,. .. Затем вычисляется значение потенциальной или дополнительной энергии. Полученные таким образом выражения будут функциями коэффи- [c.215]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

При решении вариационной задачи методом Ритца (в отличие от разложения решения в ортогональный ряд Фурье) коэффициенты зависят от общего количества удерживаемых членов, и поэтому само решение полезно представлять в виде ряда [c.155]

Потребуем, кроме того, чтобы функции, на которых будет минимизироваться функционал, удовлетворяли также краевым условиям, поскольку они главные. Будем решать нашу, теперь уже вариационную задачу методом Ритца. Сначала покажем его классическое применение, а затем конечно-элементное . [c.163]

Решение задачи о выпучивании пластинки под действием касательных сил в ее срединной плоскости в конечном виде очень сложно, поэтому воспользуемся одним из вариационных методов— методом Ритца—Тимошенко. Согласно этому методу уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки при ее выпучивании следует искать в виде ряда, каждый член которого должен удовлетворять хотя бы геометрическим граничным условиям. [c.197]

Одним из эффективных вариационных методов является метод Лагранжа—Ритца Этот метод состоит в следующем. Вначале представляют решение в форме ряда, удовлетворяющего граничным условиям и содержащего неопределенные параметры щ, [c.388]

В настоящей главе будут рассмотрены лишь наиболее часто применяемые при решении задач прикладной теории упругости вариационные и другие приблиншнные методы (методы Ритца, Бубнова — Галеркина, Канторовича — Власова, сеток, конечных элементов). [c.189]

Вариационными методами называются методы точного и приближенного решения задач, основанные на использовании экстремальных свойств некоторых функционалов. Здесь мы рассмотрим так называемый метод Ритца, а также близкий к нему, хотя и не основанный непосредственно на использовании вариационного принципа, метод Бубнова. [c.388]

Вариационные методы изучались также в статьях Уилера и Мюра [78] и By [81]. Отметим, что в работе By вместо метода Рэлея — Ритца использован метод Галеркина. [c.383]

Метод Рэлея—Ритца является универсальным методом приближенного решения основной задачи вариационного исчисления — задачи определения экстремумов или стационарных значений функционалов. Сущность этого метода состоит в замене задачи поиска стационарных значений функционалов принципиально более простой задачей поиска стационарных значений функций нескольких переменных. [c.64]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

Формулировка метода конечных элементов. Основные соотношения МКЭ для задач статики и динамики конструкций могут быть получены как обобщения известных вариационных методов Галеркина, Ритца и других, например коллокации, наименьших квадратов, на пространство кусочно-непрерывных базисных или пробных функций специального вида [47]. Для построения этого пространства исходная расчетная область D (конструкция или ее отдельные элементы) покрывается сеткой, составленной из совокупности М достаточно простых непересекающихся подобластей - конечных элементов Д , связанных между собой в отдель- [c.104]

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в трудах Б. Г. Галеркина (1871—1945), прежде всего в статье Стержни и пластинки (1915). Метод Бубнова — Галеркина, представляющий собой широкое обобщение метода Рэлея — Ритца, получил большое распространение и применяется теперь также к ряду задач вариационного исчисления, функционального анализа и математической физики. [c.264]

Следовательно, сейчас уже имеется достаточно надежный аппарат для теоретического обоснования несовместных конечных элементов, использование которых до недавнего времени считалось некорректным. Доказательство сходимости МКЭ в несовместном случае не использует традиционные приемы вариационно-разностных методов и является новой математической задачей. Таким образом, если МКЭ в совместном случае можно классифицировать как модификацию метода Ритца, то обоснованное применение несовместных конечных элементов позволяет классифицировать МКЭ как самостоятельный метод не только с точки зрения процедурной реализации, но и с точки зрения теоретического обоснования. [c.13]

Защемленные или свободные по контуру пластины. Точного решения для данного случая в замкнутом виде получить не удается. Здесь можно применять различные приближенные подходы вариационные методы (Релея, Ритца, Бубнова—Галеркина. и др.), численные методы (конечных разностей, конечных элементов), комбинированные методы и т. д. Так, по формуле Релея основная частота [c.205]

При составлении уравнений в методе Бубнова—Галеркина никакие связи с вариационными задачами вообще говоря не используются, поэтому этот метод является универсальным. Он может быть применен к уравнениям в частных производных различных типов эллиптическим, гиперболическим, параболическим.Однако для вариационных задач метод Бубнова—Галеркина находится в тесном взаимоотношении с методом Ритца, а в ряде случаев эквивалентен последнему в том смысле, что приводит к тому же приближенному решению, но с помощью более простых выкладок. [c.118]

Вариационные методы долгое время были, пожалуй, самыми распространенными при решении многих сложных задач строительной механики. В последние годы их применяют на базе вычислительной техники. Появились новые модификации методов Однако общие идеи, содержащиеся в новых методах, остаются прежними и классические методы Рэлея—Ритца и Бубнова—Галеркина еще долго будут составлять основу применяемых при расчетах методик. [c.65]

Метод конечных элементов использует процедуры различных вариационных методов. В рассматриваемом варианте метода, так же как и в методе Рэлея—Ритца, необходимо задаться полем перемещений, но не на всей области, а лишь в пределах элемента. Перемещения задаются в виде полиномов по степеням л , у, г [c.89]

Метод конечных элементов. Этот метод, как и метод конечных разностей, имеет широкие возможности и хорошо приспособлен для машинной реализации. В основе его лежит идея расчленения конструкций на отдельные элементы. Наибольшее распространение в настоящее время получил метод конечных элементов в перемещениях, имеющий много общего с методом Релея — Ритца и вариационно-разностными методами. В методе конечных элементов, в отличие от метода Релея — Ритца, аппроксимация перемещений производится не по всей области их определения, а в пределах отдельных элементов. Это позволяет оперировать с более простыми функциями. Минимизация потенциальной энергии при этом производится по узловым перемещениям, которые являются основными неизвестными. Возможность аппроксимации перемещений внутри элементов позволяет ограничиться сравнительно небольшим числом узлов, что является одним из преимуществ метода конечных элементов по сравнению с методом конечных разностей. Метод конечных элементов отчасти соединяет в себе преимущества методов конечных разностей и Релея — Ритца и в некоторой степени свободен от их недостатков. [c.82]

В большинстве работ, посвященных теории больших прогибов, рассматриваются оболочки и пластинки постоянной толщины при упругих деформациях. В этих работах использованы вариационные методы (метод Бубнова—Галеркина, метод Ритца и др.) [76, 80, 1б4]. Для решения при нагрузках различного вида и граничных условиях необходим большой объем вычислений. Разложение функции прогиба в ряд и удержание ограниченного числа членов приводит к потере точности. Для расчета пологой оболочки переменной толщины при произвольной осесимметричной нагрузке следует применять численные методы. В настоящем параграфе алгоритм расчета строится на методе интегральных уравнений. Параметры упругости полагаются переменными, что позволяет в дальнейшем использовать это решение для рассмотрения упругопластического состояния материала диска. [c.40]

Априорные оценки дают возможность оценить погрешность еще до того, как приближенное решение построено [0.11 . Как правило, априорные оценки суть оценки асимптотические — они дают лишь порядок убывания погрешности при бесконечном возрастании числа параметров, используемых при дискретизации координатных элементов в методе Ритца или числа узлов сетки в вариационно-разностном методе. Другими словами, большинство априорных оценок не дает возможности указать заранее, какое число членов ряда в методе Ритца или число узлов сетки следует взять, чтобы обеспечить нужную точность решения они только говорят чтобы уменьшить погрешность в k раз, достаточно увеличить число варьируемых параметров в I раз . [c.194]

Как было показано ранее, задачу теории упругости для малых перемещений можно сформулировать вариационными методами, предположив существование трех функций Л, Ф, Y. Точные дифференциальные уравнения и граничные условия тогда получаются из условий стационарности общей потенциальной энергии или родственных функционалов. Однако одно из основных преимуществ вариационного исчисления — это его применимость для получения приближенных решений. Так называемый метод Релея — Ритца — один из лучших способов получения приближенных решений путем использования вариационното метода [2, 3, 12—17]. Проиллюстрируем метод Релея—Ритца двумя примерами. [c.61]

Таким образом, видно, что метод Релея — Ритца в теории упругости при малых перемещениях ведет к формулировкам, эквивалентным тем, которые получены с помощью приближенных методов 1.5 и 1.7. Однако каждый метод имеет свои преимущества и недостатки в применении к задачам, отличным от задач теории упругости. Эти приближенные методы справедливы независимо от соотношений напряжения — деформации и потенциалов внешних сил, но обычно трудно доказать, что приближенное решение сходится к точному при увеличении п. С другой стороны, соотношения напряжения — деформации, объемные силы и поверхностные силы должны обеспечивать существование функций состояния Л, Л Ф и Ч при использовании вариационных формулировок метода Релея — Ритца. Однако доказательство сходимости решений здесь менее сложно, особенно когда найдено минимальное или максимальное значение функционалов. [c.62]

В предыдущем параграфе мы ознакомились с вариационными принципами для задачи о свободных колебаниях. Когда установлены вариационные принципы, то удобно использовать метод Релея — Ритца, который является эффективным средством нахождения приближенных собственных значений. Взяв за основу этот метод, рассмотрим в качестве примера задачу о свободных колебаниях балки. [c.69]

Задача о растяжении пластины интенсивно изучалась, ей посвящено большое число статей (см., например, (3—6]). Для получения приближенных решений задачи о растяжении пластины использовались вариационные принципы в сочетании с методом Релея—Ритца (см., например, [3, 7, 81). [c.228]

Выведенные выше вариационные принципы можно применить к решению задач об изгибе пластин. Принцип минимума потенциальной энергии (8.51) в сочетании с методом Релея—Ритца успешно применялся для получения приближенных решений задач о прогибе пластин при изгибе (см., например, [2, 9, 10J). [c.230]

Таким образом, получена вариационная формулировка задачи о температурном растяжении пластины. Аналогично тому, как это делалось в 8.4, можно получить вариационную формулировку и для задачи о температурном изгибе для этого следует использовать второй член правой части уравнения (8.90). Далее формулировки задач о температурном напряжении в пластине можно обобщить и на случай больших прогибов аналогично тому, как это делалось в 8.5. Эти вариационные принципы использовались в сочетании с методом Релея—Ритца для получения приближенных решений [21, 221. Температурные напряжения являются причиной таких явлений, как температурная потеря устойчивости или изменение жесткостей и частот колебаний пластин (23, 241. [c.238]

Вариационные принципы теории тонких оболочек в сочетании с методом Релея—Ритца являются эффективными средствами [c.281]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...