Прямые вариационные методы. Метод Ритца

Для приближенного определения поля ьи хи) можно использовать прямой метод вариационного исчисления, поступив следующим образом (В. Ритц, 1908). Представим (х ) в виде [c.71]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили методы Рэлея—Ритца, Бубнова— Галеркина. [c.127]

Установленная здесь классификация не является общепринятой. Одни авторы считают прямыми те методы, которые приводят краевую задачу теории упругости к алгебраическим уравнениям, относя к этим методам и соответствующие вариационные методы (Ритца — Тимошенко, Бубнова — Галеркина) другие считают прямыми вое приближенные методы и т. д. [c.9]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Вариационное уравнение дает возможность получения приближенного решения задачи теории пластичности прямыми вариационными методами, в частности методом Ритца. [c.307]

Решение прямой задачи как в перемещениях, так и в напряжениях требует интегрирования довольно сложной системы дифференциальных уравнений в частных производных и, как правило, сопряжено со значительными математическими трудностями. Поэтому при решении прямой задачи часто используют приближенные методы,например метод сеток, прямые методы вариационных задач (методы Ритца, Бубнова—Галеркина, Канторовича и др.), а также получивший за последнее время широкое применение метод конечных элементов. В некоторых же случаях решение можно эффективно получить с помощью так называемого полуобратного метода Сен-Венана. [c.81]

Наиболее часто в практике используют расчеты, основанные на вариационном принципе Лагранжа. Выше, в 5 этот принцип был использован для вывода фференциального уравнения изгиба пластины и граничных условий. Ниже будет рассмотрено применение некоторых прямых методов вариационного исчисления (метода Ритца, метода Бубнова—Галеркина и метода Канторовича). [c.96]

Нетрудно видеть, что поставленная задача не может иметь точного решения, так как число дополнительных условий (4) превышает порядок дифференциального уравнения для рассчитываемого функционала (2). Поэтому применим в данной задаче прямой вариационный метод Ритца. [c.31]

Указанное положение позволяет заменить проблему решения систем дифференциальньи уравнений равновесия рассматриваемого тела проблемой определения функций, обеспечивающих минимум некоторого функционала, в данном случае суммой работ всех сил, действующих на систему. Для определения этого минимума используют так называемые прямые вариационные методы, основы которых были заложены в работах Рэлея и Ритца. [c.41]

Таким образом, прямой вариационный метод В.Ритца фактически сводит решение вариационной задачи к задаче о поиске экстремума функции. В приложениях этот метод часто оказьшается весьма эффективным. [c.283]

К проекционным методам можно отнести и многие прямые вариационные методы, например метод Ритца. [c.156]

Для деталей с более сложной конфигурацией, как следует из п. 45, решение систем дифференциальных уравнений в случае больших деформаций малоперспективно. Поэтому повышается ценность прямых вариационных методов. Применение метода Ритца для минимизации потенциальной энергии в случае больших деформаций сводится к следующему алгоритму. [c.135]

Здесь и в 17, 18 формулируются вариационные принципы нелинейной теории упругости. Доказывается, что уравнения равновесия и краевые условия на поверхности О тела в его актуальной конфигурации могут быть получены, как следствие этих формулировок. Вместе с тем ими подсказываются возможности применения прямых методов типа Ритца, Бубнова — Галер-кина и их видоизменения, предложенного Л. В. Канторовичем, к приблийсенному решению задач нелинейной теории упругости. [c.138]

Вариационная формулировка задачи теории упругости используется главным образом в двух с.пучаях. В первом на основе уравнения бЭ = О строятся численные методы решения этой задачи (метод Ритца, метод конечных элементов и т. п.). Все эти методы относят к классу прямых методов решения задач теории упругости, не требующих в явной форме использования дифференциальных уравнений. [c.57]

Большую популярность за последнее время приобрел в а р и а ц и о н н ы й мет о д В. 3. Власова. В этом методе искомая функция зависит от двух переменных и удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных (например, прогиб в задаче об изгибе упругой пластинки). Эта функция выражена в виде произведения двух функций, из которых одна представляет заданную функцию от одного переменного, д другая — искомую функцию от другого. Вместо искомых постоянных коэффициентов, рассматриваемых в методе Бубнова — Галеркина (а также в методе Ритца — Тимошенко) и определяемых линейными алгебраическими уравнениями, в вариационном методе Власова, построенном на прямом применении принципа возможных перемещений, рассматривается система искомых функций. [c.65]

Среди прямых методов решения вариационных задач наиболее широкое применение получили метод Ритца, метод Канторовича н метод Бубнова—Галеркина — метод приближенного решения диффе- [c.97]

Обычно для оценки точности приближенного решения, полученного методом Ритца или другими прямыми методами, пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надежным приемом вычислив Ыг и ы,-(т1+1)> сравнивают их между собой в нескольких точках рассматриваемой области. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решением вариационной задачи будет гп. Если же значения ы,- vi.Unn+D в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют Ыкп+2) и сравнивают о (n+D- [c.109]

Прямой метод решения вариационных задач, предложенный Л. В. Канторовичем (1933) и названный методом приведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям, представляет собой развитие метода Ритца, когда функционал зависит от функций нескольких переменных. [c.111]

Вариационная задача отыскания функции А = Д/(ф), при которой достигается минимум функционала и в прямом приближенном методе Ритца, сводится к задаче отыскания коэффициентов С в приближенном решении, представленном в фо ме конечной суммы [c.422]

Метод Ритца. Вариационная формулировка задачи о равновесии, заключающаяся в принципе минимума потенциальной энергии системы, подсказывает возможность применения для решения задач теории упругости прямых методов вариационного исчисления. [c.153]

К каждому из полученных вариационных уравнений могут быть приложены прямые методы приближенного их решения, сводящие граничную задачу теории оболочек к решению системы алгебраических уравнений. Наиболее распространенный из них — метод Ритца, В применении к вариационному уравнению Лагранжа этот метод заключается в следующем. [c.76]

К каждому из полученных вариационных уравнений могут быть приложены прямые методы приближенного их решения, сводящие граничную задачу теории оболочек к решению системы алгебраических уравнений. Наиболее распространенным из них является метод Ритца. В применении, например, к вариационному уравнению Лагранжа этот метод заключается в следующем. Обобщенные смещения 1, 2> Ук Уг задаются в виде рядов [c.91]

В заключение этого раздела упомянем кратко о возможностях и некоторых тенденци ях развития так называемых прямых методов математической физики, которые можно назвать также численно-аналитическими. Такими методами являются, например, широт известные методы Ритца и Бубнова,-Галеркина (в этом случае часто говорят о вариационных и проекционных методах). [c.20]

Вариационный принцип (2.15) открывает возможность при-М. ёния прямых методов типа метода Ритца. Вариационная оценка дает верхнюю границу, вообще говоря, для наинизшего аяачеяня энергии wq. [c.31]

Для анализа задач трехмерного течения наиболее приемлемыми являются вариационные методы. Не исключено, конечно, применение вариационных методов и для решения плоских задач. Как было указано в гл. 1 теория пластичности дает два вариационных принципа для расчета деформаций и напряжений [59, 72, 74]. Эти вариационные принципы (возможных изменений деформированного состояния и возможных изменений напряженного состояния) позволяют получить при помощи прямых методов, например метода Ритца, приближенные решения определенного круга технологических задач. [c.84]

Сущность этих методов заключается в приведении функционала, входящего в вариационное уравнение (3.20), к квадратичному виду. Это, как известно, значительно упрощает математический аппарат. В частности, при применении метода Ритца система (3.43) преобразуется в систему линейных алгебраических уравнений. Методы последовательных приближений позволяют сколько угодно точно учитывать реальные механические свойства деформируемых тел. В первом приближении в уравнении (3.20) функция (Н) принимается постоянной величиной (какой-то усредненной по объему тела либо просто произвольной), называемой по аналогии с ньютоновской линейно-вязкой средой с коэффициентом вязкости л. Это достигается прямыми методами решение квадратического функционала [c.98]

Для отыскания критических чисел Рэлея и критических движений можно использовать прямые методы математической физики, в частности, методы Ритца и Бубнова — Галеркина. Особенно широкое распространение в задачах конвективной устойчивости получил метод Бубнова — Галеркина ввиду его простоты и универсальности (см. работы а также ряд последующих параграфов этой книги). Важное преимущество этого метода состоит в том, что он может быть эффективно использован для решения задач, не связанных с вариационными проблемами. К их числу относится, например, задача об устойчивости конвективных движений, расс матриваемая в гл. X. [c.28]

Наконец, следует еще упомянуть вычислительные процедуры, которые строились на основании прямых методов вариационного исчисления, подобных методу Ритца, а также специальные вычислительные процедуры, использующие идеи выпуклого нелинейного программирования и в том числе условия оптимальности, включающие соотношения типа минимакса. [c.200]

В заключение следует еще упомянуть метод Бубнова — Галёркина Хотя он не связан прямым образом с вариационной задачей в смысле метода Ритца, но зато возможности его применения к различным областям физики (в том числе к нелинейным задачам) очень широки. Более полные сведения о нем содержатся в [В42]. [c.132]

Модифицированный метод Ритца позволяет строить решения прямыми методами с необходимой точностью. В частности, решения задач теории упругости, полученные вариационными методами, нетрудно распространить на соответствующие задачи теории ползучести. Рассмотрим этот метод применительно к разысканию минимума дополнительного рассеяния [7]. [c.103]

Это достигается применением прямых методов вариационного исчисления, в частности метода Ритца, который заключается в предварительном выражении поля скоростей в виде ряда с неопределенными коэффициентами. [c.127]

Различные способы построения минимизирующих последовательностей относятся к прямым. методам решения вариационных задач. Основная идея этих методов состоит в том, что вариационную задачу рассматривают как предельную для некоторых задач на экстремум функций конечного числа переменных. К прямым методам решения вариационных задач относится, например, метод Ритца. [c.32]

В этой, ставшей уже классической работе Карман, следуя общей идее прямых методов вариационного исчисления, в частности, вполне себя к тому времени уже оправдавшего метода Ритца, предложил заменять истинные профили продольных скоростей в сечениях погранич- [c.620]

Создателем классического прямого метода обычно считают швейцарского математика В. Ритца (1878—1909). Если требуется решить вариационную задачу [c.49]

Пусть Q заменяется вписанным многоугольником Q , а пробные функции приравниваются нулю на прямых сторонах границы Г . Представим себе, что они доопределены нулем с внешней стороны границы Г . Тогда эти функции допустимы для вариационной задачи они равны нулю на истинной границе Г, а пробное пространство — настоящее подпространство в Следовательно, основная теорема 1.1 метода Ритца гарантирует, что ы минимизирует ошибку в энергии деформации [c.228]

Этот метод, использующий только один параметр, а следовательно, только одно уравнение, тем точнее будет описывать движение жидкости, чем удачнее будет выбран набор профилей. Иногда решение, полученное этим методом, отличается от точного менее чем на 5%. Однопараметрические методы по построению решения близки идеям прямых методов Галеркина и вариационного метода Ритца. [c.122]

Одним из прямых методов решения вариационных задач является метод Ритца. Рассмотрим метод Ритца применительно к нахождению минимума функционала П (5.38) [c.107]

Метод Ритца. Вариационные уравнения деформационной теории, рассмотренные выше, открывают возможность построения приближенных решений прямыми методами. Наиболее естественным на первый взгляд представляется непосредственное применение метода Ритца в обычной его форме. [c.323]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...