Производная от функции точки по данному направлению

Таким образом, производная от функции точки по данному направлению равна проекции градиента на это направление. [c.170]

Наряду с производной от функции точки по данному направлению вводят иногда понятие о дифференциале функции по данному направлению эт о делается так же, как в отношении дифференциала функции одного независимого переменного именно, полагают [c.171]

Это следует из определения понятия производной от функции точки по данному направлению. [c.255]

Условившись в этих простейших определениях, посмотрим теперь, каким образом характеризовать пространственную изменчивость величип поля (изменение со временем величины в данной точке пространства характеризуется, очевидно, частной производной от этой величины по времени). Для этого следует упорядочить рассмотрение бесконечного многообразия величин, образуюш,их поле, расположив эти величины сообразно некоторому признаку численной их величине — для скалярной функции, направлению — для векторной функции. [c.40]

Касательные и нормаль могут рассматриваться как система координат с началом в выбранной точке поверхности. Данная система координат обладает тем важным свойством, что частные производные от функции Q и) по направлениям осей равны нулю, так как вдоль этих направлений функция Q и) сохраняет постоянное значение. В соответствии со сказанным производная по произвольному направлению / запишется как [c.26]

Следовательно, величина 1/ равна производной по направлению нормали от функции /, т. е. равна наибольшей скорости изменения функции f в данной точке. Уравнение нормали (8.9.18) принимает вид [c.324]

Простейшие алгоритмы случайного поиска, вроде описанного выше, по-видимому, применимы к выпуклым функциям. Существует много более сложных алгоритмов случайного поиска, чем описанный выше, рассчитанных на те или иные классы задач. В целом метод случайного поиска надо рассматривать как эвристический с эффективностью, зависящей от удачного выбора алгоритма применительно к особенности заданной функции. Судя но опубликованным данным, случайный поиск менее эффективен, чем направленные поиски с использованием частных производных при числе аргументов функции 3 и менее [22]. Для функций с числом аргументом свыше 3, судя по опубликованным данным, в определенных условиях случайный поиск требует меньше вычислений, чем направленные детерминированные поиски. Но можно с уверенностью сказать, что метод направленного перебора с исходной точкой, удаленной в направлении каждой из координат от точки минимума не более, чем на два шага, всегда выгоднее случайного поиска. Это обстоятельство будет рассматриваться в следующем параграфе. [c.177]

Одним из важных приемов, ускоряющих оптимизацию, является масштабирование (нормализация) производных dS/dxj от целевой функции по оптимизируемым параметрам. Выбор параметров, применительно к которым осуществляется процедура нормализации, зависит от влияния последних на функцию цели 3. Если наблюдается сильно выраженная выпуклость функции 3 по некоторому параметру xj, имеющему малый диапазон изменения, то слишком быстрый спуск вдоль градиентного направления приводит к частой фиксации параметра на его граничных значениях. Это значительно усложняет процесс оптимизации по данному параметру и по остальным параметрам в целом. Поэтому необходимо ввести масштабирование таким образом, чтобы уменьшить величину производной dS/dXj, т. 6. искусственно замедлить сам процесс изменения значений данного параметра. Если же, наоборот, по параметру xj имеет место слабая выпуклость функции 3, то желательно увеличить значение производной d3/dxj. [c.37]

Интегрирование производится вдоль контура, состоящего из трех сторон прямоугольника (рис. 4.1), в направлении от точки В (прообраз точки А находится на бесконечном удалении, так как в этой точке функция тока имеет логарифмическую особенность). На рассматриваемом контуре = 1, поэтому под знаком интеграла в выражениях для ж, у содержится только нормальная производная функции тока на границе. Для сохранения погрешности 0 Ъ ) при вычислении координат можно было бы воспользоваться односторонними трехточечными разностными формулами. Однако в данном случае, ввиду особенностей строения границы области, предпочтительнее использовать следующий прием. Нормальная производная на границе вычисляется по односторонней разностной (двухточечной) формуле с поправкой О К), пропорциональной второй нормальной производной. Последняя, в свою очередь, выражается из уравнения Чаплыгина через вторую тангенциальную производную, равную нулю, и через первую производную фг которая либо является нормальной производной, либо также равна нулю как тангенциальная производная. Этот прием позволяет вычислить нормальную производную на границе с погрешностью 0 Ъ ) по двухточечной разностной формуле. [c.117]

Пусть 5н — некоторая поверхность с помеченными сторонами, так что направление единичной нормали V совпадает с направлением от стороны (—) к стороне (+). Наряду с основной системой координат Хи рассмотрим другую декартову систему х координатах, которой направлена по нормали V в данной точке поверхности 5н- Тогда частные производные некоторой дифференцируемой вне 5н функции — в двух указанных системах связаны соотношением [c.52]

Производная от функции точки пО данному направлению. Пройдём через взятую на поверхности уровня точку М. (х, у, г) какую-нибудь фивую (фиг. 73). Касательная к ней в точке М пусть характеризуется единичным вектором s . Возьмём на этой кривой другую точку M (x-i-rAx, у 4-Ay, z + Az) и [c.169]

Практическое значение нахождения комплексного потенциала ш = ф-(-гф, отвечающего некоторому течению, заключается прежде всего в том, что, зная данную функцию, можно, вычислив производную от нее по г, найти скорость в любой точке поля. Согласно определению производной от функции комплексного переменного, при вычислении ее в некоторой точке поля можно подходить к последней по любому направлению (см. раздел 1 54), в частности, двигаясь и в направлении оси х. Тогда dw/dz = d(pldx + i d p/dx). Так как d pldx = Vx, а д 1р1дх=—Vy находим [c.476]

Индекс к указывает на последовательность вычислений в процессе итераций. Новые направления называются сопряженными и соответствуют текущей локальной квадратичной аппроксимации функции. Затем по новому направлению проводят одномерный поиск и, найдя минимум, проверяют, достигнута ли требуемая степень сходимости. Если проверка показывает, что это так, то счет прекращается. В противном случае определяют новые сопряженные направления, к увеличивают на единицу и продолжают процесс до тех пор, пока не будет обеспечена сходимость или пока поиск не будет проведен по всем Л +1 направлениям. Закончив цикл поиска по Л +1 направлениям, начинают новый цикл, в котором опять используется направление наискорейшего спуска. Достоинство этого алгоритма состоит в том, что он позволяет использовать преимущества градиентных методов, проявляющиеся при исследовании целевой функции с разрывными производными. Так как N+1 направлений поиска второй совокупности отличаются от направлений единичных векторов градиента, то поиск не зависает на изломе , а идет вдоль линии, соединяющей точки изломов линии уровня, которая, как правило, проходит через точку оптимума. Вообще можно утверждать, что методы, основанные на определении новых направлений поиска на основе накопленных данных о локальном поведении функции, по самой своей природе более эффективны, чем методы, в которых направление поиска задается заранее. Именно поэтому метод Флетчера — Ривса обладает большими преимуществами по сравнению с методами наискорейшего спуска или подъема. Его недостаток состоит в том, что, будучи сложнее указанных методов, он требует разработки более сложных программ. [c.173]

Степенная функция у = ах выходит из начала координат х — = О, у = Оимопотонно возрастает. Кроме того, если мы вычислим последующие производные у = аЬ , у" = аЪ Ь — 1) и т. д., мы увидим, что ни одна из них не имеет экстремума, т. е. они тоже изменяются монотонно. Отсюда следует, что степенная функция будет адекватно представлять любую другую функцию, которая растет монотонно и допускает монотонную экстраполяцию в начале координат. Поэтому, если мы выделим, скажем, в центре некоторого отрезка кривой, которую мы хотим представить степенной функцией, точку Хд, г/о, то возможно, имея два свободных параметра а и Ь, провести степенную функцию так, чтобы она проходила через эту точку и имела бы, кроме того, общую с данной кривой касательную, В этом случае ординаты других точек х, у по обе стороны от х , у будут отклоняться на величины второго порядка малости относительно X — Хд. Если к тому же данная кривая может быть экстрано-.лирована в начало координат, эти отклонения настолько малы, что могут быть не замечены. Иногда, однако, область 2 х — xj) может быть настолько велика, что отклонения становятся заметными. В этих случаях помогает введение третьего параметра следующим. образом у = с ао или yi = у — с = ах . Это соответствует параллельному смещению координатной системы в направлении у без изменения характера степенной формулы и позволяет получить для обеих кривых одинаковую кривизну в точке Хо, г/о, а отклонения ординат при этом становятся величинами третьего порядка малости. относительно х —Жд). Такое видоизменение формулы Ваэле — Оствальда было предложено Гершелем (1925 г.). [c.284]

Если задана характеристическая нормаль, определяемая (1.51), то система (1.50) имеет т1 = т т2 независимых решений, где Ш2 — ранг ее матрицы. Следовательно, имеется т1 независимых характеристических соотношений (1.47), соответствующих данной нормали. В каждом конкретном случае необходимо выяснить, сколько и какие характеристические соотношения линейно независимы. Для случая пространственного течения газа (установившегося и неустановившегося) этот вопрос детально рассмотрен в [172]. Часто характеристическими называют поверхности, на которых нельзя ставить задачу Кошн. Очевидно, такое определение характеристических поверхностей эквивалентно определению, введенному выше. Действительно, если поверхность начальных данных характеристическая, то на ней выполняются гпх т.1 т) независимых условии совместности (1.47), которые являются следствиями основной системы дифференциальных уравнений. Оставшихся т — тпх основных уравнений, которые содержат по кра11ней мере одну производную от искомых функций в нормальном к характеристической поверхности направлении и по терминологии [122] называются дополнительными соотношениями, недостаточно для определения решения вне поверхности начальных данных. [c.21]

Поток энергии, который несут упругие волны, заключенные в частотном интервале отй до Q+ (10 , через единичную площадку, перпендикулярную направлению потока 1, лежащую внутри телесного угла 0, обозначим через ЛйМо. Для волн рассматриваемой частоты излучательная способность кристалла является функцией температуры в данной точке и не зависит от производных Т по координате, которые следовало бы учитывать для более высокочастотного спектра упругих волн. [c.403]

В [77] предложен алгоритм вычисления распределения показателя преломления по измерениям производной от оптической длины пути. Для измерения углов отклонения света, пропорциональных производной функции ф, используется оптическая схема регистрации интерферограмм углового сдвига в каладом из трех каналов зондирования [78]. Метод основан на записи двух спекл-фотографий диффузора на одну фотопластинку, причем во время одной из экспозиций между диффузором и объективом присутствует объект. Вследствие рефракции излучения на объекте спекл-структура смещается относительно своего первоначального (без объекта) состояния. Величина смещения спекл-структуры в каждой точке изображения определяется углом рефракции луча, приходящего в эту точку Поэтому при освещении фотопластинки узким пучком света период возникавших интерференционных полос зависит от угла рефракции, который в свою очередь связан с производной от фазового сдвига вдоль направления, перпендикулярного к полосам. В работе приведен результат восстановления распределения показателя преломления внутри пламени спиртовки по описанным выше проекционным данным. [c.82]

N, профиля Т х), подвергаемого преобразованию данной процедурой, причем результат помещается в тот же массив Х[0 N]—массив со-ответствуюш,их линейных координат х, возрастающих в направлении от границы с индексом О в сторону противоположной границы пластины ТО, TN — приращения температуры АТо и АТа/ соответствующих границ пластины при граничных условиях первого рода, температуры теплоносителей Тг о и Тг w при граничных условиях третьего рода и произвольные числа, например нули, при граничных условиях второго рода ALO, ALN — произвольные числа при граничных условиях первого рода, значения плотности тепловых потоков и для соответствующих сторон пластины при граничных условиях второго рода и коэффициенты теплоотдачи о и ал/ при граничных условиях третьего рода DTAY — шаг по времени, для которого производится преобразование профиля температуры пластины А, L — процедуры-функции, вычисляющие соответственно коэффициент температуропроводности и приведенный к эквивалентной пластине коэффициент теплопроводности как функции температуры материала и линейной координаты пластины и имеющие в качестве формальных параметров температуру материала и индекс I границы элементарного слоя, заключенного между координатами х[1] и 4 +1] SIGMA — процедура-функция, задающая численное значение весовому коэффициенту а к производной или его значение в зависимости от критерия Fov для малой ячейки сетки Axv Ат. Формальным параметром процедуры является критерий Fo для малой ячейки. [c.217]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...