ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема возвращения (теорема Пуанкаре) из "Аналитическая динамика " Теорема Пуанкаре устанавливает, что если а есть любая сколь угодно малая замкнутая подобласть области Q, то существуют характеристики. [c.439] Для доказательства возьмем какую-нибудь замкнутую подобласть А области Q и рассмотрим изображающие точки (или частицы жидкости), которые в момент i = О лежат в А. Пусть в момент f = 0 О эти точки образуют множество В, так что В = TqA. Мнон ество В можно считать 0-образом множества А, а множество А — 0-прообразом В (см. 21.12). Если А задано, то множество В однозначно определяется числом 0, и наоборот, если задано 5, то множество А однозначно определяется значением 0. Более того, поскольку движение является установившимся, изображающие точки, лежащие в момент = 0 в Л, в момент 0 располагаются в jB, и наоборот, точки, лежащие в момент t = ъ В, в момент t — — 0 располагаются в А. [c.440] Отсюда следует, что и области а и сСр р =-- г — я) имеют общую часть а того же объема тр. В самом деле, область ар является sT-образом области а область а — ST-образом области а . [c.440] Возьмем теперь в качестве исходной области вместо а область а и снова повторим предыдущие рассуждения, приняв тот Hte основной интервал времени т, что и выше. Тогда найдется такое целое число р, что а и его р х-прообраз а р будут иметь общую часть а конечного объема. [c.440] Выше мы рассматривали положения точки Р лишь для дискретных моментов времени О, т, 2т,. . ., но теорема, очевидно, справедлива и тогда, когда изменяется непрерывно. [c.440] Движение, нри котором система бесконечное число раз возвращается в окрестность начального состояния, Пуанкаре называл устойчивым в смысле Пуассона . [c.440] Отметим, что основная идея в доказательстве теоремы Пуанкаре заключается в использовании теоремы Лиувилля о сохранении меры при преобразовании с помощью оператора Tf Никакие другие свойства уравнений Гамильтона здесь не используются. [c.441] при изучении квазипериодических движений ( 18. 6), мы уже встречались с теоремой, близкой по своему характеру к теореме Пуанкаре. Было показано, что изображающая точка проходит бесконечное число раз в произвольной близости от своего начального положения в фазовом пространстве. [c.441] Теорему Пуанкаре можно считать отправным пунктом в новом подходе к задачам классической динамики. До сих пор мы полагали, что решить задачу динамики — это означает найти зависимость положения системы от времени t и заданных начальных значений координат и скоростей частиц. Для большей части задач, однако, такое решение получить не удается. Именно это обстоятельство вызвало столь большой интерес к теореме Пуанкаре и обусловило развитие связанных с нею теоретических вопросов. Основное внимание теперь уделяется не изучению индивидуальных свойств характеристик, а исследованию статистических свойств целого семейства характеристик. [c.441] Вернуться к основной статье