Задачи Дирихле и Неймана

Плоские задачи (задачи кручения и изгиба стержней в постановке Сеи-Венана). Как было установлено выше, эти задачи приводятся к задачам Дирихле и Неймана для уравнений Лапласа и Пуассона, поэтому имеет смысл рассмотреть их общие постановки. [c.116]

Как известно, задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа решаются с помощью потенциалов простого и двойного слоев, а при решении краевых задач для других дифференциальных уравнений применяются различного рода обобщенные потенциалы. Краевые задачи теории аналитических функций комплексного переменного, к которым приводятся задачи плоской теории упругости, [c.135]

При формулировке внешних задач Дирихле и Неймана № необходимо еще добавить ограничение на поведение функции в бесконечности типа (6.20). [c.98]

Перейдем к построению и исследованию интегральных уравнений, соответствующих задачам Дирихле и Неймана. При рассмотрении этих задач будем теперь полагать, что граничная поверхность есть поверхность Ляпунова, а краевые условия — функции Р и р2—непрерывные функции. [c.99]

Заметим, что уравнения задач Дирихле и Неймана являются союзными. [c.100]

Следует отметить, что интегральные уравнения для задач Дирихле и Неймана могут быть построены на иной основе, исходя из тождеств (6.12) — (6.19). Наиболее просто получаются уравнения для задачи Неймана в этих тождествах осуществляется предельный переход в граничной поверхности с использованием для потенциала двойного слоя формул (6.27). При этом потенциалы простого слоя будут известными функциями [c.106]

Для задач Дирихле и Неймана в случае уравнения Гельмгольца можно построить интегральные уравнения, аналогичные уравнениям (7.8) и (7.9), на основе потенциалов простого и двойного слоев, когда в качестве фундаментального решения берется функция [c.112]

Опишем теперь энергетическое пространство в задачах Дирихле и Неймана. Для этого потребуется использовать понятие обобщенных производных. Пусть и р) и щ(р) —две функции, суммируемые в П, и пусть функция ф(р)—бесконечно дифференцируемая в области О, равная нулю в окрестности границы. Допустим, что для любой функции ф (при введенных ограничениях) имеет место равенство [c.139]

Изложенные результаты, как можно заметить, устанавливают практически полную аналогию между свойствами интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана и основных задач теории упругости. [c.564]

Таким путем решение общих задач Дирихле и Неймана для функции ф с произвольными граничными данными сводится к решению частных задач Дирихле и Неймана длй функции к с граничными условиями (12.22). Очевидно, что таким же путем можно строить функцию Грина для смешанной задачи. [c.167]

Основываясь на рассмотренных здесь дл у1фо анстка, свойствах зеркальной симметрии, по-ограниченного плоскостью строим функции Грина для задач Дирихле и Неймана в области представляющей собой верхнее или нижнее полупространство, ограниченное плоскостью г = 0. [c.178]

Для этого уравнения также ставятся задачи Дирихле и Неймана. [c.250]

Нетрудно показать, что задачи Дирихле и Неймана, как и в случае подстановки (VI.15), решаются обычными методами. Что касается смешанной задачи, то для ее решения необходимы приемы, подобные тем, о которых шла речь в предыдущ,ем параграфе. [c.80]

Если к нелинейному уравнению стационарной теплопроводности (VI. 14) применить одну из подстановок (Кирхгофа или Шнейдера), то оно преобразуется в уравнение Лапласа, которое, как известно, может быть смоделировано на -сетках с постоянными параметрами и на моделях, выполненных из электропроводной бумаги. Трудность заключается в моделировании граничных условий, которые в большинстве случаев оказываются нелинейными и после применения подстановок (граничные условия III и IV рода). Решение задач Дирихле и Неймана, как показано в предыдущей главе, ничем не отличается от решений соответствующих задач в линейной постановке. Поэтому на таких задачах останавливаться не будем. Что касается лучистого теплообмена и решения задач с граничными условиями [c.88]

Предыдущий результат может быть применен к решению задач Дирихле и Неймана для круга. Первая функция f (0) берется как заданные значения потенциала на единичной окружности с центром в начале координат это кусочно-непрерывная однородная функция, т. е. кусочно-непрерывная неразрывная функция с кусочно-непрерывными неразрывными производными. Если необходимо найти потенциал, который удовлетворяет данному граничному условию, является однозначным и не имеет особенностей внутри круга (внутренняя задача), в уравнении (70) можно принять величины Л =1, В = а = с = 0] если необходимо решить наружную задачу, можно принять величины Л = 0 и В=1. В любом случае, когда г=, граничное условие дает [c.102]

Выбранный общий метод решения задач Дирихле и Неймана, приводящий к интегральным уравнениям второго рода, основан на разрывах поверхности распределений источников и диполей. Допустим сначала, что потенциал на замкнутой поверхности тела 5 задан как ф=1 Рв), где Рв обозначает точки на поверхности (рис. [c.123]

Граничные условия. Задачи Дирихле и Неймана. Разыскание комплексного потенциала [c.238]

В этом параграфе будет доказано несколько теорем о характеристических числах уравнений (I )- и (11)= =. Эти теоремы обобщают для классической теории упругости известные теоремы о характеристических числах интегральных уравнений граничных задач Дирихле и Неймана. [c.259]

Как было показано, для этого достаточно иметь решения следующих задач Дирихле и Неймана для полупространства [c.608]

Основная задача состоит поэтому в определении А, когда на поверхности тела известны либо перемещения, либо приложенные нагрузки. Эта задача будет подробно рассмотрена в следующем параграфе. Подобно тому как в теории потенциала общая теория задач Дирихле и Неймана основывается на теореме Грина, в теории упругости основным инструментом является теорема взаимности Бетти ), [c.164]

Докажем ряд теорем относительно свойств резольвент этих уравнений. Эти свойства аналогичны известным свойствам резольвент интегральных уравнений задач Дирихле и Неймана в теории гармонических функций, а метод их доказательств аналогичен методу доказательств для гармонических функций, ставшему теперь классическим (см., например, [12]). [c.163]

Теорема 2.2. Задачи Дирихле и Неймана (в смысле определения [c.361]

Мы познакомимся с этим методом на примере задачи сопряжения, но более общей, чем рассмотренная в 6 гл. XI. С очевидными изменениями этот метод можно применить и к задачам Дирихле и Неймана [c.390]

Изученная нами задача 1.1 является задачей сопряжения более общего вида, чем задача из С гл. XV, которая соответствовала случаю а= а 5,-. Очевидные изменения (фактически, упрощения) позволяют аналогично изучить задачи Дирихле и Неймана, что приводит к новому доказательству теорем 5.1 и 6.2 гл. XV. [c.399]

Для определенности мы рассматриваем оператор А задачи сопряжения (см.( 1.9) - (1.12)), хотя аналогичные результаты имеют место и для задач Дирихле и Неймана и получить их даже проще. [c.400]

Значительное место в его творчестве занимают вопросы теории ньютоновского потенциала, разработанные им в строго классическом направлении. Отправляясь от фундаментальных работ А. М. Ляпунова, относящихся к проблеме фигур равновесия, Леонид Николаевич живо и оригинально строит решение граничных задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В .предположении постоянной плотности он доказывает известную теорему П. С. Новикова по обратной задаче ньютоновского потенциала, а также исследует вопрос об аналитическом продолжении функций, представимых потенциалами. Эти результаты нашли освещение в опубликованной в 1946 г. монографии Теория ньютоновского потенциала , к которой примыкают две другие работы Об одной обратной задаче теории потенциала (1938 г.) и О единственности определения формы притягивающего тела по значениям его внешнего потенциала (1954 г.). Интерес Леонида Николаевича к этим вопросам не ослабевал до последнего времени ( К теории сфероида Лапласа , 1968 г.). [c.10]

Дирихле и Неймана с помощью данного метода могут быть решены на УСМ-1 и без приставки, так как граничные условия в этих краевых задачах линейные, и для их моделирования используются имеющиеся на машине каналы блока граничных условий I и II рода). [c.130]

Внутренняя задача о распространении гармонической волны имеет единственное решение, если со не является одним из собственных значений системы. Существуют, однако, родственные трудности в случае соответствующей внешней граничной задачи, что выражено уравнением (10.77), хотя оно, конечно, удовлетворяет обычным условиям регулярности, а также условиям излучения на бесконечности. Имеется бесконечная последовательность значений со, совпадающих с соответствующими резонансными волновыми числами или собственными значениями соответствующей внутренней задачи, при которых это уравнение имеет множество решений. Поэтому решение внешних задач Дирихле или Неймана не будет иметь успеха при волновых числах, отвечающих собственным значениям внутренних задач Неймана и Дирихле соответственно. Это не физическая трудность, присущая внешней задаче, так как для йнешних задач не существует собственных значений трудность неединственности полностью обусловлена формулировкой задачи через граничные интегралы. Подробное обсуждение возникающих здесь трудностей можно найти в работах [5, 10, 21, 23, 24, 55—57], где для преодоления этих трудностей предложены модификации как прямого, так и непрямого методов. [c.299]

Заметим, что в некоторых случаях решение указанных выше задач Дирихле или Неймана можно не производить. Например, если возбуждение внешнее и нас интересует только поле вне тела, то искать U+ не надо, так как с помощью формулы Грина (2.8) эта функция может быть исключена из выражений для амплитуд. [c.113]

По функции ср можно определить функцию ф и обратно. Ясно поэтому, что задачу Неймана можно свести к задаче Дирихле и обратно. В самом деле, вспомнив условия Коши — Римана и приняв на время, в соответствии с рис. 88, направление нормали за направле- ще оси Ох, а направление касательной за направление оси Оу, сразу получим соотношения [c.241]

В физических задачах, помимо условий Дирихле и Неймана, которым искомая функция должна удовлетворять на границе области, часто встречается также условие третьего рода [c.180]

В следующем примере будет рассмотрена скалярная задача, в которой функция А(х, у, 1) удовлетворяет уравнению Пуассона с условиями Дирихле и Неймана [c.49]

Определение 2.1. Пусть / - функция, определенная на 8. Задача Дирихле (соответственно Неймана) состоит в нахождении 4 , опре деленной в 2, удовлетворяющей (1.2) для вещественного со > О, условию излучения (1.8) и такой, что на 8 [c.361]

Частоты рассеяния получаются, как и в задаче Дирихле или Неймана (см, рассуждения после доказательства предложения 4.2). [c.415]

В каждом случае рассматривается двумерное уравнение второго порядка, скажем уравнение Пуассона —Аы = /. Большей частью оно берется для удобства и простоты описания для нескольких неизвестных и трехмерного пространства изменения незначительны. Для чистой задачи Дирихле или Неймана высокого порядка, например для пластины с закрепленными или [c.226]

Г0 требование регулярности—действительно не слишком ограничивающее условие Например, однородная задача Дирихле и однородная задача Неймана, соответствующие данным (1.2.23) [c.140]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...