ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи Дирихле и Неймана из "Методы математической теории упругости " При формулировке внешних задач Дирихле и Неймана необходимо еще добавить ограничение на поведение функции в бесконечности типа (6.20). [c.98] При рассмотрении задачи Неймана потребуем дополнительно, чтобы поверхность была регулярной, т. е. чтобы функция / (см. (6.26)) принадлежала классу С , а искомая функция имела правильную производную. [c.98] НО ПО принципу максимума для гармонических функций такое решение должно быть тождественным нулем. [c.99] Очевидно, что решение внутренней задачи Неймана не единственно, поскольку добавление аддитивной постоянной не отражается на краевом условии (7.2). Оказывается, однако, что с учетом этого добавления решение внутренней задачи Неймана единственно. Решение же внешней задачи единственно уже без каких-либо оговорок. [c.99] Перейдем к построению и исследованию интегральных уравнений, соответствующих задачам Дирихле и Неймана. При рассмотрении этих задач будем теперь полагать, что граничная поверхность есть поверхность Ляпунова, а краевые условия — функции Р и р2—непрерывные функции. [c.99] Из результатов 2 следует, что любое решение этих уравнений, суммируемое с квадратом, будет непрерывной функцией. [c.100] Исследование интегральных уравнений (7.8) и (7.9) удается провести, сочетая основные положения общей теории интегральных уравнений с упомянутыми выше свойствами гармонических функций и теоремами единственности краевых задач. [c.100] Докажем, что уравнения (7.8) и (7.9) при Я = 1 (т. е. для задач 0 и ) разрешимы при произвольных правых частях (разумеется, в предположении их непрерывности). [c.100] Перейдем к рассмотрению уравнений (7.8) и (7.9) при % = = —] (т. е. для задач и Л ). Рассмотрим уравнение (7.8), которое имеет (в силу теоремы Гаусса (6.28)) очевидное решение фо=1, а, следовательно, Х = —1—собственное значение уравнения. Таким образом, приходим к утверждению, что уравнение (7.9) (как союзное) будет иметь при Х = —1 собственные функции. Покажем, что собственная функция — одна. Обозначая эту функцию через фо и рассматривая ее как плотность, образуем потенциал простого слоя Р(р, фо). Предельное значение его нормальной производной изнутри будет равно нулю, и поэтому сам потенциал будет равен некоторой постоянной Со- Если допустить, что уравнение (7.9) при X = —1 имеет еще одно решение фь линейно независимое с фо, то тогда потенциал Г(р, фО будет равен С. Образуем теперь плотность фа = С1фо — Софь которая также будет собственной функцией, причем потенциал Е(р, фа) будет равен нулю в области D+, а значит, и в области 0 . Поэтому его плотность фа есть тождественный нуль, а, следовательно, функции фо и ф1 линейно зависимы. Следовательно, уравнение (7.8) будет иметь лишь одну указанную ранее собственную функцию. [c.101] Это условие совпадает с ранее установленным условием разрешимости самой краевой задачи Неймана N (7.3) и, естественно, должно автоматически выполняться по постановке задачи. Решение же интегрального уравнения включает частное решение неоднородного уравнения и собственную функцию, определение которой не представляет особого интереса при решении краевых задач, поскольку наличие ее в выражении для потенциала сводится к появлению лишь аддитивной постоянной, присутствующей в решении по постановке задачи. [c.101] Уравнение задачи О также оказывается разрешимым при выполнении тоже одного условия, но здесь собственную функцию надо еще напти, а поэтому фактическая проверка разрешимости уравнения затруднительна. Тем более, что, как правило, это условие не будет выполняться, поскольку в отличие от задачи здесь нет каких-либо ограничений на краевое условие, нарушение которых делает задачу неразрешимой. Заметим, что представление решения задачи О в виде потенциала двойного слоя приводит автоматически к тому, что искомая гармоническая функция будет убывать на бесконечности как I/R , что не требуется по постановке задачи. [c.102] В дальнейшем при рассмотрении задач теории потенциала для областей, ограниченных несколькими поверхностями, будут изложены приемы, связанные с определенной модификацией представлений гармонической функции, что приводит к интегральным уравнениям, всегда разрешимым, в частности, в случае задачи В . [c.102] Выше фактически были установлены некоторые свойства резольвент интегральных уравнений (7.8) и (7.9), т. е. было показано, что точка Я, = 1 не является полюсом резольвенты, а точка Я, = —1 является таковым. Установим сейчас некоторые более тонкие свойства резольвент. Будем рассматривать уравнения (7.9), а аналогичные свойства уравнения (7.8) будут автоматически установлены в силу того, что оно является союзным к (7.9). [c.102] Первый интеграл согласно (7.12) всегда положителен и отличен от нуля, второй же отрицателен. Следовательно, отношение (1—А.о)/(1 -Ь Хо) вещественно и отрицательно. Поэтому само ),о вещественно и по модулю не меньше единицы, что и утверждалось выше. [c.103] Из соотношений же (7.12) следует, что левая и правая части равенства (7.17) имеют различный знак, причем левая часть отлична от нуля. Полученное противоречие доказывает, что все полюсы резольвенты — простые. [c.104] С учетом установленных ранее свойств резольвенты при Х=1 и % = —1 приходим к утверждению, что интегральные уравнения (7.8) и (7.9) при Я=1 разрешимы методом последовательных приближений, причем решение может быть представлено в виде (2.3П) или в ином виде [17]. Решение же уравнения (7.9) при Х = — 1 непосредственно представляется рядом (2.2). При фактическом построении решения следует учесть все замечания (изложенные в 2), связанные с погрешностью численной реализации и возможностью ее уменьшения (метод понижения особенности). [c.104] Покажем теперь, как, учитывая спектральные свойства, найти эту собственную функцию. Как отмечалось в 2, в этом случае представление (2.31) оказывается сходящимся, а поэтому каждое из слагаемых [ 3п ( ) + фп-i (9) ] будет стремиться к нулю, что в пределе приводит к равенству lim я)з ( 7) = tj)o( ). [c.105] Вообще говоря, трудности, возникающие при решении задачи D, такие же, как и при решении краевых задач для области, ограниченной несколькими поверхностями. Здесь имеется ввиду следующее. Пусть несколько поверхностей S/ (/=1,2,. .., п) расположены друг вне друга, а одна, обозначаемая через So (эта поверхность может и отсутствовать), охватывает все остальные. Область D расположена между этими поверхностями ). Тогда решение для искомых гармонических функций (как в задаче Дирихле, так и в задаче Неймана) можно представить в виде потенциалов двойного и простого слоев соответственно, имея ввиду плотности, распространенные на все поверхности. В результате будут получены интегральные уравнения той же структуры, что (7.8) и (7.9), вернее, будут получены системы уравнений для функций ф,( ) (/ = 0,1,2,. .., п). [c.105] Если с задачей Неймана все обстоит благополучно (уравнения разрешимы при выполнении условия (7.10), где под S понимается объединение всех поверхностей) и, более того, оказывается сходящимся метод последовательных приближений в форме (2.31 ), то уравнения для задачи Дирихле оказываются неразрешимыми. [c.105] Вернуться к основной статье