Метод собственных колебани

Полученное таким образом решение содержит в знаменателе множитель Jp ka), который на некоторых частотах kn обращается в нуль. На этих частотах неоднородная задача (8.1), вообще говоря, т. е. при произвольных источниках, решения не имеет. Физический смысл этого результата очевиден мы пытались решить задачу о возбуждении колебательной системы без потерь на собственной ее частоте. Частоты, для которых неоднородная задача оказалась неразрешимой, являются характеристиками колебательной системы, в нашем примере — внутренней области цилиндра. Одновременно именно на этих частотах имеет решение однородная задача. Использование решений однородной задачи и лежит в основе так называемого метода собственных колебаний. Мы упоминали об этом в п. 4.3. [c.85]

Отметим, что уравнение для собственных частот кп в методе собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы заменить частоту к на собственную частоту кп, а е на е. Уравнение для кп сложнее, чем уравнение (9.16) для 8 , в котором правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения для кп по сравнению с уравнением для е связано с тем, что в волновое уравнение для вне тела собственное значение метода собственных колебаний кп входит (8.26), а собственное значение метода этого параграфа е не входит (9.16). Однако главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы представить дифрагированное поле без интегрального слагаемого. [c.97]

Другие методы собственных колебаний. Существует еще целый ряд возможностей сопоставить данной задаче дифракции какую-либо однородную задачу и воспользоваться порождаемой ею системой собственных функций для разложения дифрагированного поля в ряд. В качестве собственного значения в этих однородных задачах можно выбрать, например, элементы матрицы рассеяния. Для этого надо представить поле на больших расстояниях от тела (речь идет о возбуждении открытых резонаторов) в виде суммы приходящей и уходящей волн с совпадающими (с точностью до комплексного сопряжения) угловыми зависимостями и рассматривать отношение амплитуд этих [c.103]

Таким образом, метод собственных колебаний представляет поле задачи дифракции в виде рядов по собственным функциям. Особенно эффективен метод для высокодобротных закрытых и открытых резонаторов. [c.104]

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Б ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ [c.1]

Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции, [c.2]

Метод собственных колебаний обычно трактуется как законченный метод решения задач дифракции, почти не имеющий явных точек соприкосновения с каким-либо другим методом. В этой книге авторы показывают, что его можно рассматривать как один из вариантов некоторого более общего метода, в котором в качестве собственного значения вспомогательной однородной задачи выбирается не обязательно частота. Во многих задачах дифракции — в первую очередь при исследовании открытых резонаторов — естественными и наиболее эффективными являются другие варианты этого общего метода. В них однородная задача формулируется так, что собственными значениями являются другие физические параметры. [c.6]

В теории дифракции для решения внутренних задач широко применяется метод собственных колебаний. Он состоит в том, что поле, возникающее при возбуждении замкнутого объема (т. е. решение неоднородной задачи), ищется в виде ряда по некоторым вспомогательным функциям — собственным функциям этого объема. Эти функции являются собственными функциями вспомогательной однородной задачи, соответствующими различным значениям собственной частоты. Они образуют полную и ортогональную систему. Метод особенно эффективен для резонаторов с малыми потерями и при частоте, близкой к одной из собственных частот. [c.7]

Обобщенный метод собственных колебаний, основы которого излагаются в этой книге, также состоит в представлении решения стационарной задачи дифракции в виде ряда по некоторой ортогональной системе функций. Он также эффективен в первую очередь вблизи резонанса. Он применим и для открытых резонаторов и вообще для любых задач дифракции на ограниченных телах. Его основная идея состоит в том, что в качестве собственных функций используются решения однородной задачи, в которой собственным значением является, вообще говоря, не частота (как в обычном методе), а какой-либо электродинамический параметр — например, диэлектрическая проницаемость некоторого вспомогательного тела, занимающего тот же объем, что и тело, на котором происходит дифракция. Какая именно величина принимается в качестве собственного значения однородной задачи, зависит от вида задачи дифракции в книге излагается несколько вариантов метода. Во всех изложенных вариантах собственные функции соответствуют [c.7]

В предлагаемой книге с единой точки зрения сформулированы различные возможности, которые возникают в методе собственных колебаний прн его обобщениях. [c.9]

Это — основная формула метода собственных колебаний. Вместе с (2.13) она дает решение задачи (2.1), (2.2а) при любом возбуждении . [c.19]

Весь этот аппарат применим при любых частотах и любых комплексных е и ш. Однако более всего этот аппарат эффективен, когда в ряде (2.13) для полного поля один член много больше остальных, так что поле U задачи дифракции близко к полю одного из собственных колебаний. Это имеет место для систем с малыми потерями ткп мало) и при частоте возбуждающих токов к, близкой к Кей (модуль одного из знаменателей к — kh мал). При этих условиях, т. е. вблизи резонанса высокодобротной системы, для того, чтобы узнать структуру поля дифракции, достаточно найти поле одного собственного колебания, а частотная зависимость почти полностью задается одним комплексным числом — собственной частотой этого колебания. Иными словами, метод собственных колебаний особенно удобен тогда, когда решение задачи (2.1) (или (2.15)), (2.2) дается приближенной одночленной формулой [c.21]

Другие варианты обобщенного метода собственных колебаний сохраняют это свойство метода собственных частот. [c.21]

Как и следовало ожидать, аппарат интегральных уравнений приводит к тем же вспо.могательным задачам, в которых диэлектрическая проницаемость определяется формулой (5.13), и к тем же формулам для коэффициентов разложения, что и аппарат дифференциальных уравнений. Мы привели здесь способ, основанный на (5.24), для того, чтобы проиллюстрировать один из основных приемов, используемых в обобщенном методе собственных колебаний для построения системы собственных функций. Прием этот состоит в том, чтобы свести рещение задачи дифракции к интегральному уравнению (например, типа (5.24)), а затем ввести собственные функции соответствующего интегрального оператора (тина (5.25)). Этот способ будет использован и во второй главе. [c.50]

Диаграмма рассеяния может быть определена и с помощью другого варианта обобщенного метода собственных колебаний — 5-метода ( 13) это будет сделано в 20. Однородная задача 5-метода совпадает по существу с известной в квантовой механике задачей определения матрицы рассеяния. Для сферически-сим-метричного потенциала эта последняя задача может быть решена численно либо прямым интегрированием дифференциального уравнения, либо с помощью интегрального уравнения 5-метода. В 20 будет проведено сравнение численных результатов, полученных двумя методами, с целью иллюстрации точности приближенных формул. [c.67]

В ЭТОЙ главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам о дифракции на диэлектрических телах, в том числе — на телах с диэлектрической проницаемостью, зависящей от координат. Схема построения решения во всех случаях примерно одинакова. Сначала вводятся уравнения для собственных функций и устанавливаются условия ортогональности этих функций. Для тел с постоянной диэлектрической проницаемостью 8 собственным значением является проницаемость е тел той же формы (тел сравнения), в которых возможны незатухающие колебания на заданной частоте источников. Для тел с переменным е(г) тела сравнения тоже имеют переменные 8 (г). Вид этих функций находится из требования, чтобы для амплитуд в разложении дифрагированного поля по собственным функциям получалось явное выражение. Затем приводятся несколько различных видов формул для этих амплитуд, в частности, формула, содержащая не падающее поле, а возбуждающие токи. Для точек внутри тела даны формулы для разложения полного поля по собственным функциям. Аппарат применен также к квантовомеханическим задачам рассеяния. [c.84]

Эта глава посвящена вариационным методам решения однородных задач, возникающих в обобщенном методе собственных колебаний. Мы будем рассматривать однородные задачи в дифференциальной постановке и выпишем для них функционалы, стационарные на решениях этих задач. Во внутренних задачах стационарные функционалы того или другого варианта обобщенного метода получаются просто, если известен функционал (удовлетворяющий некоторым дополнительным требованиям) для соответствующей однородной задачи в /г-методе. Результат легко обобщается на внешние задачи. Стационарность функционалов на собственных функциях (и только на них) доказана. [c.146]

В 8 и 14 были поставлены однородные задачи, возникающие при решении векторной задачи дифракции обобщенным методом собственных колебаний. В настоящем параграфе будут построены функционалы, стационарные на решениях этих задач. Мы ограничимся рассмотрением нескольких наиболее характерных вариантов. Как и всюду в этой главе, будем начинать с построения функционалов для -метода, стационарных в классе таких функций, на которые не надо налагать условия, содержащие, соответственно, величины е, w, р или р. Из получающихся при этом функционалов искомые функционалы для обобщенного метода находятся простыми алгебраическими преобразованиями. [c.188]

В тексте книги мы не давали ссылок на литературу и не сопоставляли излагаемые методы с другими. В п. 1 этого параграфа мы перечислим основные работы, в которых другими авторами излагались близкие идеи. Приводятся ссылки только на одну-две работы каждого направления. В п. 2 мы сопоставим некоторые аспекты обобщенного метода собственных колебаний (ОМСК) с другими направлениями в теории дифракции. В п. 3 сформулированы некоторые возможные обобщения метода. [c.280]

Н. Н. Войтович, Н. П. С а и т а л о в, О некоторых применениях обобщенного метода собственных колебаний, Радиотехника и электроника 19, № 12, 2625—2629 (1974). [c.287]

Е. И. Коршунова, Л, Н. Сивов, Применение обобщенного метода собственных колебаний к расчету постоянных [c.287]

Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. М. Наука, 1977. [c.161]

Практика расчетов упругих систем на колебания показывает, что в подавляющем большинстве случаев те упрощения, которые делались в рассмотренных выше задачах, являются неприемлемыми. Так, большей частью собственная масса упругих связей (балок, валов) оказывается соизмеримой с присоединенными массами. Последние же в свою очередь редко удается рассматривать как сосредоточенные. Обычно в расчетной практике приходится иметь дело с балками или валами переменной жесткости при неравномерном распределении масс. В этих условиях определение частот собственных колебаний изложенными выше методами оказывается громоздким и более предпочтительным является приближенное решение. Ниже мы рассмотрим наиболее распространенный из существующих приближенных методов — метод Релея. [c.485]

На основании выражения (15.33) может быть предложен метод последовательных приближений для определения частот собственных колебаний. Рассмотрим следующий пример. [c.489]

Заметим, что нахождение главных координат тем или иным методом — задачи одинаковой трудности. Зара ее указать главные координаты в конкретной задаче обычно не удается. Поэтому практическое значение их невелико. Однако введение главных обобщенных координат имеет существенное теоретическое значение, которое заключается в том, что при помощи них любые собственные колебания системы можно представить как независимые гармонические колебания каждой обобщенной координаты. [c.217]

Снитко H. K. Определение частот собственных колебаний рамных систем и арок методом моментов. Исследования по теории сооружений, вып. V, Госстройиздат, 1951. [c.378]

Динамическая теория решетки. Метод, предложенный для вычисления теплоемкости Борном и Карманом [6—8], основан на расчете действительного вида колебательного спектра при определенных предположениях о характере межатомных сил. Частоты собственных колебаний решетки вычисляются здесь как корни секулярного уравнения, получающегося из определителя преобразования к нормальным координатам. Степень такого уравнения есть 3. (5—число атомов в одной ячейке), а число уравнений равно числу ячеек. Поэтому все-таки для окончательного вычисления g(v) должны быть развиты соответствующие приближенные методы. Борн и Карман [8] использовали метод, в основном подобный тому, каким мы пользовались при выводе формул (5.1) и (5.2), и показали, что их результаты подтверждают закон Дебая для низких температур, согласно которому теплоемкость [c.320]

Для изучения внутреннего механизма сложной реакции метод вынужденных колебаний удобней н более универсален, чем метод собственных колебаний (Атауллаханов, 1972). Зависимость частоты колебаний от концентраций может быть использована для измерения этих концентраций (Жаботинский, 1972) для контроля и управления состоянием системы. [c.22]

Войтович Н. Н., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции.— М. Наука, 1977.— 416 с. [c.224]

В книге дано систематическое изложение математических методов решения задач дифракции монохроматических волн (электродинамика, акустика). Представлены как точные методы (разделение переменных, интегрирование в плоскости комплексной переменной, метод собственных колебания), так и приближенные (вариационные, низкочастотная и высокочастотная асимптотики). В каждом методе описаны в первую очередь его идея, область применения, связь с другими методами. Затем изложен, в наиболее простой постановке, аппарат метода и приведечы примеры его применения. Киига может служить введением в теорию дифракции и облегчить переход к чтению более узкоспециальных монографий и журнальных статен. [c.4]

Внешняя задача. Заметим, что применяя метод собственных колебаний в импедансной постановке для внешней задачи, получим то же решение, ко горое мы получили обычным разделением переменных— разумеется, в простой задаче типа задачи о цилиндре, где переменные разделяются. Этот вариант метода собственных колебаний применйм и к внешним задачам, т. е. поле дифракции может быть представлено в виде ряда. Из всех возможных методов собственных колебаний только в методе собственных частот возникают во внешних задачах, как мы, уже говорили в 8, трудности — там приходится к ряду добавлять еще интеграл. [c.102]

В ЭТОЙ задаче все полученные результаты тривиальны и могут быть, разумеется, найдены просто разделением переменных. Решая задачу о дифракции на цилиндре или о возбуждении цилиндрического резонатора этим методом, пользуются рядами типа (1.4). В этом варианте ( 9) обобщенного метода собственных колебаний такие ряды используются и в том случае, когда каледая функция не является произведением функций от одной координаты — основным является то, что удовлетворяет волновому уравнению и граничному условию (1.2). [c.12]

В этой главе обобщенный метод собственных колебаний применен к задачам дифракции на телах (диэлектрических или металлических) с границами раздела или на экранах общего типа (импедансных, полупрозрачных и т. д.). Задачи для собственных функций содержат спектральный параметр в граничных условиях, и эти функции ортогональны на границах. Условия на бесконечности рассматриваются также как граничные. В задачах о высокодобротных резонаторах нерезонапс-ный фон может быть эффективно просуммирован выбором поля и° в виде решения вспомогательной задачи [c.145]

Аппарат, развитый в первых двух гла.вах книги, иллюстрируется в первой половине параграфа (пп. 1—6) на примере элементарной одномерной задачи. Задача эта имеет явное решение, и применение к ней различных вариантов обобщенного метода собственных колебаний позволяет получить разложения этого решения в беско-вечные ряды по различным функциям. Сравнение этих решений позволит, в частности, проиллюстрировать соотношения между резонансными кривыми, описывающими для одной и той же задачи амплитуду резонансного слагаемого в различных разложениях. В пп. 7—9 стационарные функционалы главы III используются для нахождения собственных значений двух — тоже одномерных— однородных задач. Так как эти собственные значения легко находятся непосредственно, то на этих примерах удается установить практическую скорость сходимости метода Ритца в применении к комплекснозначным функционалам. [c.202]

Н. Н. Войтович, Б. 3. Каценеленбаум, А. Н. Сивов, Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции, в сб. Исследования в области радиотехники и электроники 1954—1974 гг. , ч. 1, ИРЭ АН СССР, 241—262, 1974. [c.287]

И. И. Войтович, Б. 3. Каценеленбаум, А. И. Сивов, Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции, УФН 118, № 1, 709—736 (1976). [c.287]

Постановки спектральных задач, порождающих используемые системы функций и , могут варьироваться в зависимости от конкретной постановки исходной задачи (1.1.1), (1.1.2) в довольно широких пределах (так, например, спектральный параметр % можно ввести в граничные условия и т. д.). Ряд подходов такого типа разработан в рамках развиваемого Б. 3. Каценеленбаумом с соавторами обобш,енного метода собственных колебаний [1]. Для всех этих подходов существенны базисность системы ы , вытекающая из свойств порождающей ее спектральной задачи, и свойство ортогональности типа (1.1.4), позволяющее выразить коэффициенты разложения Ск в явном виде. [c.29]

Войтович Н. Н., Кацеиеленбаум Б. 3., Сизов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в задачах теории дифракции. М, Наука, 1977. [c.91]

Метод собственных колебаний основан на выведении среды упругого равновесия с помощью кратковременного импульса и пО следующей регистрации возникающих колебаний. На практике суТ метода заключается в возбуждении колебаний сопряженной систем плита-грунт с помощью ударов в бетонный блок или стальную плитУ Зарегистрированный сигнал (колебания в функции времени) подверг ется спектральному анализу с целью определения частотной характ ристики, а затем частоты, при которой характеристика достигает своеГ [c.134]

На фиг. 397 показана диффракционная картина, полученная Йона при просвечивании кристалла хлората натрия в направлении кристаллографической оси, а также при просвечивании кристалла КОдРО в направлении оси с. Здесь же приведены и теоретические кривые. Значения упругих постоянных, полученные из фиг. 397,а (в единицах Ш дин1см ), равны Сц=4,89 +0,04, 74,= 1,173+0,02 и с,2= 1,39+0,02 значения, определенные Мэзоном [2255] по методу собственных колебаний, составляют соответственно 4,89, 1,71 и 1,385. [c.362]

На рис. 1.7, а представлены зависимости продольного смещения конца стержня (длина /=15 мм, высота к = 115) во времени при мгновенном снятии нагрузки Р = 3000 Н. Расхождение решения МКЭ с аналитическим решением Тимошенко [228] йри размерах КЭ A.t = ft/3, Ay = hj и шаге интегрирования по вре-мени Ат = 0,05 мкс (приблизительно T v/200, где Tv —период собственных колебаний) составило 2 % по схеме интегрирования I [формула (1.41)] и 10 % для схемы интегрирования II [формула (1.47)] в первом периоде колебаний. В дальнейшем для схемы II развивается процесс численного демпфирования (уменьшение амплитуды и увеличение периода колебаний), обусловленный выбранной для данной схемы аппроксимацией скорости и ускорения на этапе Ат (принята линейная зависимость скорости от времени). В данном случае при внезапно приложенной нагрузке ускорение на фронте волны теоретически описывается б-функцией. Численное решение занижает ускорение, что приводит к постоянному снижению значений кинетической энергии и энергии деформации в процессе нагружения по сравнению с аналитическими значениями (рис. 1.7,6). В связи с тем что с помощью предложенного метода предлагается решать за- [c.37]

В теории Зельмейера оказалось возможным связать оптическую константу (скорость света в веществе) с другими параметрами ве- щества, с собственными периодами колебаний его молекул, определение которых, правда, должно было выполняться такл<е оптическими методами. Электронное истолкование дисперсии с использованием понятия собственных колебаний атомов установило природу колеблющихся частиц (электроны и ионы) и позволило значительно углубить наши представления о веществе и свете. [c.548]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...