Лефшец

Наибольшую сложность в исследовании бифуркаций положения равновесия на плоскости представляет задача о рождении предельных циклон. Как правило, основная часть решения этой задачи сводится к исследованию абелевых или сходных с ними интегралов по фазовым кривым специальной гамильтоновой системы. Эти исследования проводятся либо чисто вещественными методами [43], [72], [88], либо с помощью выхода в комплексную область с применением теоремы Пикара — Лефшеца, теории эллиптических интегралов и уравнений Пикара — Фукса [75], [76], [93], [104], [119], [141], [193]. [c.208]

Здесь мы кратко рассмотрим стандартный набор приемов для качественного исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Подробное изложение содержится в книгах Андронова и др. (1959, 1966, 1967), Арнольда (1971), Боголюбова и Митропольского (1963), Лефшеца (1961), Понтрягина (1965). [c.32]

Лефшец С, 1961. Геометрическая тео рня дифференциальных уравнений, М., ИЛ. [c.172]

Ла Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова М., Мир . 1 964. 168 с [c.42]

Ж. Ла-Салль, С. Лефшец. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. Перев, с англ. М., Мир , 1964, стр. 148. . [c.137]

Здесь имеется в виду только устойчивость по Лангранжу см., например, книгу Ж. Ла-Салля и С. Лефшеца Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова , Мир , М., 1964, гл. IV. — Прим. перев. [c.98]

Из теоремы 4.1 следует, что уравнение (8.2) при перечисленных условиях представляет собой D-систему. Для установления конвергенции нам понадобится оценить более точно ту область, в которую попадают решения уравнения (8.2). Такого рода оценки были проведены Картрайт и Литтлву-дом [44]. Мы установим здесь эти оценки, следуя книге Лефшеца [45]. [c.109]

Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, 1961 [c.366]

Эти выводы полезно сравнить с результатами работы [14], в которой при выполнении неравенств (2.9) или (2.10) доказано существование одного периодического решения с частотой (2.8). Метод Пуанкаре позволяет удвоить количество периодических решений и, что даже более важно, сделать заключение об их устойчивости. Любопытно отметить, что в книге Лефшеца [3] (в которой изложена работа [14] в несколько более общем виде) имеется ссылка па классическое сочинение Пуанкаре [9]. Специалистам по теории колебаний следовало бы более внимательно изучать работы Пуанкаре. Это замечание относится и к работам по синхронизации динамических систем (см., например, [15]) сформулированные в этой теории экстремальные свойства синхронных (резонансных) движений часто оказываются следствием результатов Пуанкаре [c.241]

Ж. Ла-Салль и С. Лефшец (1961) проводят рассуждения, аналогично Четаеву (1949, 1960), для общего случая уравнений (1.1). Они показали, что если существует такая функция У, что У о в некоторой области (Я) и У> вне (А), то выполнение в (А) неравенства [c.65]

Приводимое ниже доказательство является уточнением доказательства, данного в книге Лефшеца ([13], глава X, 2). [c.559]

В некоторых случаях мы приводим важные общие сведения в тексте без доказательства. Это случается, когда определенный результат органически связан с данным параграфом книги. Хороший пример такого результата — формула Лефшеца для числа неподвижных точек отображения. [c.15]

Некоторые из алгебраических данных индексного типа (см. 8.4) могу] быть определены не только для изолированных неподвижных точек, но посредством правильного обобщения, и для этих связных компонент. Та КИМ образом, глобальная топологическая информация для диффеоморфиэ MOB Артина — Мазура может быть получена при помощи аналога формулк Лефшеца. Подобным образом, можно изменить определение (3.1.3) дзета функции, связанной с ростом числа периодических орбит (см. п. 4.1 а), так чтобы включить все связные компоненты множества периодических точек. Для диффеоморфизмов Артина — Мазура эта измененная дзета-функция имеет положительный радиус сходимости. [c.312]

Хотя все упомянутые выше понятия являются глобальными, некоторые взаимоотношения между ними устанавливаются с помощью ключевого локального понятия индекса неподвижной (или периодической) точки отображения или неподвижной точки потока, которое отражает топологическое поведение отображения либо соответственно отображения сдвига за время t вблизи неподвижной точки. В частности, рассмотрение точек, имеющих отличный от нуля индекс, важно по ряду причин например, они не исчезают в результате С -возмущений системы. Центральным элементом для установления связи между упомянутыми понятиями служит формула Лефшеца, выражающая сумму индексов неподвижных точек через гомологические данные. Понятие индекса является основным и для теории Нильсена, которая позволяет оценить снизу число периодических точек через гомотопические данные. В следующей главе мы покажем, как понятия, связанные [c.314]

Замечание. В некотором смысле это седло может быть получено склейкой вместе трех простых седел индексов —1. Таким образом, индекс аддитивен в следующем смысле если поток (рд вложен в такое однопараметрическое семейство потоков что потоки имеют три простых седла ддя е > О, то 1ро естественным образом оказывается потоком с многократным седлом, полученным объединением трех простых седел, т. е. е = О — би( уркационное значение согласно определению из 7.3. Соответствующий пример дают гамильтоновы потоки гамильтонианов Н х,у) = ех + -Ь ху х -ь у) х - у), показанных на рис. 8.4.1 для е = О и е = 1/10. Таким образом, сумма индексов в этой ситуации сохраняется. Если мы вложим эту локальную картину в компактное многообразие, тогда этот факт окажется следствием формулы Лефшеца (теоремы 8.6.2). [c.329]

Формула Лефшеца и ее приложения [c.333]

При рассмотрении степени отображений окружности было установлено, что понятие степени может использоваться для доказательства существования (большого количества) периодических точек. По существу мы подсчитывали число точек пересечения графика нашего отображения со сдвинутой диагональю в произведении К х Й универсального накрывающего пространства на себя. Более сложный вариант того же соображения пригоден в большей общности и использует в качестве главного инструмента понятие индекса неподвижной точки. Мы имеем в виду формулу Лефшеца, связывающую действие отображения / на группах гомологий с суммой индексов неподвижных точек. Эта формула описывает глубокую связь между глобальным поведением отображения, проявляющимся при действиях на группы гомологий, и локальным поведением в неподвижных точках, представляемом их индексом. В частности, если известно, что индексы неподвижных точек не могут быть большими (например, благодаря теореме Шуба — Сулливана), мы, таким образом, получим нижнюю границу для числа неподвижных точек и, следовательно, для числа периодических точек итераций отображения /. [c.333]

Необходимая информация относительно действия отображения / на группах гомологий заключена в числе Лефшеца /. [c.334]

Теорема 8.6.2 (формула Лефшеца). Пусть М — компактное многообразие, возможно с границей, и / М- М — непрерывное отображение, все неподвижные точки которого изолированы. Тогда [c.334]

Следующий критерий представляет собой наиболее очевидное применение формулы Лефшеца в динамике. [c.334]

ФОРМУЛА ЛЕФШЕЦА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 335 [c.335]

Для многообразий с особенно простой структурой групп гомологий число Лефшеца может легко вычислено. Например, для отображений сферы мы получаем следующий результат, который полезно сравнить с некоторыми фактами, установленными при обсуждении понятия степени для отображений 5, в частности с полученным выражением для числа периодических точек. [c.335]

Таким образом, опираясь на формулу Лефшеца и следствия из нее, можно попытаться оценить скорость роста периодических орбит, а не просто установить факт их существования. Рассмотрим следующий типичный, конкретный пример (который мы уже обсуждали в п. 8.2 в), показывающий, как формула Лефшеца дает оценку на рост числа периодических точек. [c.335]

П р е р. Рассмотрим отображение / - S , z , на римановой сфере С = С и оо , т. е. на одноточечной комапктификации комплексной плоскости. Поскольку / покрывает сферу дважды, deg/ = 2. Следовательно, L (/ ) = 1+2" и, как было показано в 8.2, Р (/) = 2+2"-1 = 2 +1 = (/"). Это означает, что все периодические точки имеют одинаковый индекс. С другой стороны, известный нам контрпример не обладает таким большим количеством периодических точек, как можно было бы предположить, исходя из значения числа Лефшеца. Действительно, степень отображения д S , zi- z / 2 z ), равна двум. По формуле Лефшеца [c.336]

Этот пример показывает, в чем состоит трудность при использовании формулы Лефшеца для получения большого количества периодических точек одна периодическая точка может поглощать весь рост числа Лефшеца за счет отсутствия каких бы то ни было ограничений на индекс. Однако существование такой неподвижной точки, поглощающей рост числа Лефшеца, требует существенной негладкости g в оо. Теорема Шуба — Сулливана 8.5.1 показывает, что для дифференцируемых отображений последовательность ind . X ограничена равномерно по п для всех х. В такой ситуации часто бывает возможно доказать существование бесконечно большого количества периодических точек. В частности, теперь мы можем установить несколько следствий из предыдущих результатов н теоремы Шуба — Сулливана 8.5.1. [c.336]

С другой стороны, для отображений общего положения формула Лефшеца может быть использована для оценки роста числа периодических орбит. [c.337]

Вычислите число Лефшеца для отображений окружности. [c.337]

Без этого предположения существование каких-либо неподвижных точек не может быть гарантировано (см. упражнение 8.7.2). Наше первое наблюдение состоит в том, что индексы всех неподвижных точек преобразования Fj одинаковы и равны signdet(Id - Л) (предложение 8.4.6). Таким образом, по формуле Лефшеца L(F ) = signdet(Id—A) ardFix(i ). [c.338]

Прежде чем перейти к общему доказательству ограниченности числа периодических точек числом Лефшеца, посмотрим, что происходит с возмущениями линейных отображений. По предложению 1.1.4 любая периодическая точка PJ сохраняется при достаточно малых С -возмущениях и ее индекс также не меняется. Замечательно, что если преобразование А гиперболическое, то достаточно малое возмущение сохраняет индексы всех периодических точек. Это можно показать следующим образом в силу структурной устойчивости (теорема 2.6.3 для двумерного случая, которая дословно переносится на случай произвольной размерности) число Р (/) точек периода п постоянно для любого отображения /, достаточно близкого к и по следствию 6.4.7 они все гиперболические и, следовательно, все имеют одинаковый индекс, поскольку L(/) = L( ). [c.339]

Вычислите число Лефшеца преобразования и найдите p(i ) для любой целочисленной матрицы А, используя определение 8.6.1. [c.340]

Чуть более длинные вычисления (по-прежнему несложные, поскольку все кривые, относительно которых мы осуществляем отражение, являются либо отрезками, либо дугами окружностей см. упражнение 9.2.7) показывают, что орбита 7, соответствует случаю гиперболической седловой орбиты индекса -1, а орбита 73, вопреки ожиданиям, не эллиптична, но соответствует случаю обратного седла (пятая строка таблицы из 8.4), индекс которого равен единице. Тогда сумма индексов по-прежнему равна нулю, как и в случае изолированной орбиты периода два в эллипсе, хотя структура второй орбиты в этом случае другая. Этот факт следующим образом согласуется с формулой Лефшеца (теорема 8.6.2). В окрестности границы, которую не посещает ни одна периодическая орбита данного периода, можно возмутить биллиардное отображение таким образом, чтобы получилось тождественное отображение. Затем, отождествляя компоненты границы получившегося кольца, мы получим тор, на котором биллиардное отображение порождает некоторое отображение, гомотопное линейному преобразованию [c.354]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...